Acredito que a forma mais rápida de resolver seja simplificando a expressão pedida e depois analisando a expressão fornecida: $$\cosec{2x} - \dfrac{1}{2}\tan{x} = \dfrac{1}{2\sin{x}\cos{x}} - \dfrac{\sin{x}}{2\cos{x}} = \dfrac{1 - \sin^2{x}}{2\sin{x}\cos{x}} = \dfrac{\cos^2{x}}{2\sin{x}\cos{x}} = \dfrac{\cos{x}}{2\sin{x}} = \dfrac{\cot{x}}{2}$$ Seja o triângulo retângulo com um dos catetos igual a $2ab$ e a hipotenusa $a^2 + b^2$, então, o terceiro cateto $c$ é dado por: $$c = \sqrt{(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2} = \sqrt{a^4 + b^4 - 2a^2b^2} = \sqrt{(a^2 - b^2)^2} = a^2 - b^2, a > b$$ Logo, a cotagente de $x$ nesse caso seria $\dfrac{a^2 - b^2}{2ab}$, portanto o valor da expressão é $$\dfrac{a^2 - b^2}{4ab} \Rightarrow Letra \ E$$