i) reescrevendo a matriz e calculando o seu determinante: $\begin{vmatrix} n & 1 & 1\\ n+5 &n &5 \\ -5&-3 & -2 \end{vmatrix} = 9$ $= -2n^2 -25 -3n -15 -(-5n -2n -10 -15n) =9 \therefore -2n^2 + 19n -39 = 0$ $2n^2 -19n + 39 \Rightarrow n = 3$ obs: a outra solução da equação foi descartada por não ser um número natural. ii) substituindo n na matriz A e calculando sua inversa: $A = \begin{pmatrix} 3 &1 &1 \\ 8&3 &5 \\ -5&-3 &-2 \end{pmatrix}$ $A.A^-1 = I \therefore A^-1 = \begin{pmatrix} 1 &-\frac{1}{9} &\frac{2}{9} \\ -1 &-\frac{1}{9} &-\frac{7}{9} \\ -1&\frac{4}{9} &\frac{1}{9} \end{pmatrix}$ $\therefore \ n = 3$ $\therefore \ S = -1$