É importante perceber que, quando $k$ é ímpar, ocorre os seguintes casos: $k = 1$ $\implies$ $\cos (\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$ $k = 3$ $\implies$ $\cos [(\alpha + 2\pi) + \pi] = \cos (\alpha + 2\pi)\cdot \cos(\pi) = -\cos(\alpha)$ $k = 5$ $\implies$ $\cos [(\alpha + 4\pi) + \pi] = \cos (\alpha + 4\pi)\cdot \cos(\pi) = -\cos(\alpha)$ $\vdots$ Isto é, para $k$ ímpar formam-se pontos côngruos que sempre retornarão em $-\cos(\alpha)$ Dessa forma, a soma enunciada será: $\cos(\alpha) - \cos(\alpha) + \cos(\alpha) - \cdots + \cos(\alpha + n\pi) $ como a soma inicia-se para um $k$ par (que retorna sempre $\cos(\alpha)$ ), é evidente que, para cada um $k$ par, sempre haverá $k$ ímpar ao lado "cancelando", E ISSO SE MANTÉM DESDE QUE O ÚLTIMO TERMO DA SOMA SEJA $-\cos(\alpha)$, que ocorre quando $n$ é ímpar. E dessa forma, a soma portanto será zero. Resposta: "zero quando $n$ é ímpar" Alternativa $\mathbb{(E)}$