Conhecida a equação de Nernst, têm-se:\begin{matrix} \ce{E_{célula} = E^º_{célula} - \dfrac{0,0592}{n} \log{Q}} \end{matrix}Pondere que quando $\ce{E_{célula} = 0}$ temos o equilíbrio - não há espontaneidade alguma - ou seja, o $Q$ que representa a lei de ação das massas passa a ser o $K$ da constante de equilíbrio. Nesse sentido, ainda precisamos encontrar $\ce{E^º_{célula}}$, para isso, há as semirreações do enunciado, o que não é difícil ajeitar invertendo a segunda equação a fim de chegar no resultado que buscamos, veja:\begin{matrix} \ce{2MnO4-_{(aq)} + 8H+_{(aq)} + 6e- &->& 2MnO2_{(s)} + 4H2O_{(l)} &,& E^º_{MnO4-/MnO2} = 1,70 V} \\ \ce{3Mn^{2+}_{(aq)} + 6H2O_{(l)} &->& 3MnO2_{(s)} + 12H+_{(aq)} + 6e- &,& E^º_{MnO2/Mn^{2+}} = -1,23 V} \\ \hline \ce{3Mn^{2+}_{(aq)} + 2MnO4-_{(aq)} + 2H2O_{(l)} &->& 5MnO2_{(s)} + 4H+_{(aq)} &,& E^º_{célula} = 0,47 V} \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} \ce{ 0 = 0,47 - \dfrac{0,0592}{6} \log{K}} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} \log{K} = \dfrac{0,47 \cdot 6}{0,0592} &\therefore& K = 10^{47,8} \ \ \tiny{\blacksquare} \end{matrix}