$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ A princípio, nota-se que a presença de diversas particularidades, assim como só é necessário uma única ocorrência para atestar a afirmativa. Nesse sentido, podemos partir de casos simples, isto é, matrizes $2\times 2$ - visto que ambas devem ser quadradas - e pensar um pouco nas definições. Em suma, sabemos que $M$ é não-nula, e não-inversível, isto é, $\det{M} = 0$, vamos supor que ela seja na forma:\begin{matrix} M = \begin{bmatrix} 0&0 \\a& 0 \end{bmatrix} &,& a \ne 0\end{matrix}Por outro lado, $N$ também é não-nula, tal que $MN$ é uma matriz nula. Analogamente, vamos supor que $N$ seja:\begin{matrix} N = \begin{bmatrix} 0&0 \\b& 0 \end{bmatrix}&,& b \ne 0\end{matrix}Ora, não é difícil verificar que $MN = 0_{2,2}$, assim como ambas as matrizes respeitam as preposições do enunciado. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ Num raciocínio análogo ao anterior, precisamos de apenas de um caso satisfatório. Comecemos analisando a situação do determinante, a matriz dele pode ser escrita como:\begin{matrix} M^2 - M = M(M - I) \end{matrix}Conforme $\text{teorema de Binet}$, têm-se:\begin{matrix} \det{M} \cdot \det{(M-I)} = 0 \end{matrix}Observe que para $M^2 - M $ ser inversível:\begin{matrix} \det{M} \ne 0 &\vee& \det{(M-I)} \ne 0 \end{matrix}Vamos supor agora que uma matriz $X_{2,1}$, tal que ela seja:\begin{matrix} X = \begin{bmatrix} a \\b \end{bmatrix}\end{matrix}Agora, vamos assumir que $M$ seja uma matriz identidade $2\times 2$ - assim a condição de inversível é satisfeita, e $\det{(M-I)} = 0$, também satisfazendo a preposição inicial do determinante $\det{(M^2 -M)} = 0$ - por conseguinte, têm-se:\begin{matrix} M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &\therefore& MX = X \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ Entre as alternativas, esta é a mais direta, requer apenas algum conhecimento de trigonometria, mais precisamente que:\begin{matrix} \cos{\theta} = 1 - 2\sin^2{(\theta/2)} \end{matrix}Nesse sentido, analisando o elemento $a_{2,1}$, têm-se:\begin{matrix} \dfrac{\tan{\theta}}{\sec{\theta}} = \sin{\theta} &\forall \ \theta \ne \dfrac{\theta}{2} + k\pi \ , \ k \in \mathbb{Z} \end{matrix}Com isso, a matriz em questão fica:\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}Então, o determinante acima fica:\begin{matrix} \begin{vmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{vmatrix} = \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 \end{matrix}Por conseguinte, nesse contexto, a matriz é inversível.\begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}

I.(verdadeiro)-Se det(M)=0 e M é não nula, então existe pelo menos n-1 vetores coluna em M que formam um espaço de dimensão n-1 que contém um último vetor coluna. Logo pode-se fazer uma combinação entre esses n-1vetores coluna de modo a cancelar com o último vetor definido dentro desse espaço. Portanto existe N quadrada de ordem n não nula tal que M.N=O II. (Verdadeiro)det(M(M-I))=detM.det(M-I)=0. Logo det (M-I)=0. Então pelo mesmo argumento anterior, existe X nâo nula tal que (M-I)X=O III(verdadeiro) det=cos²@+sen²@=1 que é diferente de zero , contudo pela função secante e tangente cos@ deve ser nescessariamente diferente de zero para existir, logo essa matriz é invertivel para qualquer @ diferente de pi/2+2kpi