Pela teoria Newtoniana da gravitação, o potencial gravitacional devido ao Sol, assumindo simetria esférica, é dado por , em que é a distância média do corpo ao centro do Sol. Segundo a teoria da relatividade de Einstein, essa equação de Newton deve ser corrigida para , em que depende somente de , de e da velocidade da luz, . Com base na análise dimensional e considerando uma constante adimensional, assinale a opção que apresenta a expressão da constante , seguida da ordem de grandeza da razão entre o termo de correção, , obtido por Einstein, e o termo da equação de Newton, na posição da Terra, sabendo a priori que .
$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \ m^3/s^2 kg$
Massa do sol: $1,99 \cdot 10 ^{30} \ kg$
Raio da Terra: $6380 \ km$
CossenoGPT
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A princípio, temos um problema de análise dimensional, então, comecemos por observar que $A/r^2$ apresenta a mesma dimensão de $GM/r$, do contrário, a fórmula não possuiria sentido. (Não dá para somar dimensões diferentes e chegar numa mesma dimensão, este é basicamente o princípio da homogeneidade.) Dessa forma, vamos primeiro verificar a dimensão de $V$, para isso, precisamos saber a dimensão de $G$, o que não é difícil ao partir da força gravitacional:\begin{matrix}
F = \dfrac{GMm}{r^2} &\Rightarrow& [G] = \dfrac{L^3}{T^2M} &\therefore& [V] = \dfrac{L^2}{T^2}
\end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix}
[A] = \dfrac{L^4}{T^2} &\because& [A] = [V] \cdot L^2
\end{matrix}Conforme enunciado, sabemos que $A$ depende apenas de $G$, $M$ e $c$, ou seja:\begin{matrix}
A = k \cdot G^x \cdot M^y \cdot c^z
\end{matrix}A análise dimensional disso resulta em:\begin{matrix}
[A] = \left(\dfrac{L^3}{T^2M}\right)^x \left(M\right)^y \left(\dfrac{L}{T}\right)^z = \dfrac{L^4}{T^2}
\end{matrix}Com parando os resultados, facilmente montamos um sistema de equações:\begin{matrix}
\begin{cases}3x +z =4 \\ 2x + z = 2 \\ \ \ y -x = 0
\end{cases} &\therefore& x = 2 &,& y = 2 &,& z = -2
\end{matrix}Portanto,\begin{matrix}
A = k \left(\dfrac{GM}{c} \right)^2
\end{matrix}Por outro lado, pensando na razão, têm-se:\begin{matrix}
\dfrac{A/r^2}{GM/r} = k \left(\dfrac{GM}{c^2 r} \right)
\end{matrix}Substituindo os dados da capa da prova:\begin{matrix}
\dfrac{A/r^2}{GM/r} = k \left[\dfrac{(6,67 \times 10^{-11})(1,99 \times 10^{30})}{(3\times 10^8)^2 (1,5 \times 10^{11})} \right] \approx 1\times 10^{8}
\end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}
