$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ A princípio, o triângulo é equilátero, então $\overline{BC} = \overline{AB} = \overline{AC}$, aplicando a distância euclidiana, têm-se:\begin{matrix} (\overline{BC} )^2 = (5-2)^2 + (5 - 1)^2 = 25 \end{matrix}Então,\begin{matrix} \overline{BC} = \overline{AB} = \overline{AC} = 5 \end{matrix}Analogamente, aplicando a distância euclidiana:\begin{matrix} (\overline{AB} )^2 = (x-2)^2 + (y - 1)^2 \\ (\overline{AC} )^2 = (x-5)^2 + (y - 5)^2 \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} (x-2)^2 + (y - 1)^2 = (x-5)^2 + (y - 5)^2 \end{matrix}Resultando em,\begin{matrix}y = - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{45}{8} \end{matrix}Com isso, é impossível que $A$ se encontre na reta descrita, afinal, seus termos independentes são distintos. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$ Conforme resultado anterior, sabemos que $A$ pertence à reta descrita. Além disso, também pertence a circunferência, visto que:\begin{matrix} (\overline{AB} )^2 = (x-2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$ A primeira circunferência já sabemos que é verdade, mas e a segunda? A ideia aqui é a seguinte; observe a equação da circunferência, seu centro se encontra em: $$ \left( \dfrac{7}{2} \ , \ 3\right)$$Assim, olhando para posição do centro, existe algum ponto notório do triângulo que compreende $A$ a partir de uma reta? Certamente existem diversos, mas espero que você tenha pensado na mediatriz ao analisar o centro, em vista do ponto médio entre $\overline{BC}$ ser::\begin{matrix} x_{médio} = \dfrac{x_C+ x_B}{2} &,& y_{médio} = \dfrac{y_C+ y_B}{2} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} x_{médio} = \dfrac{7}{2} &,& y_{médio} =3 \end{matrix}A mediatriz de um triângulo equilátero também é a altura $H$ do triângulo, então:\begin{matrix} H = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} &,& H^2 = \dfrac{75}{4} \end{matrix}Portanto, já sabemos que a circunferência descrita também compreende o ponto $A$. Afinal, aplicando a distância euclidiana entre o ponto $A$ e o ponto médio $\overline{BC}$:\begin{matrix}\left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 + (y -3) = H^2 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}