Uma urna de sorteio contém $90$ bolas numeradas de $1$ a $90$, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais.

a) Retira-se aleatoriamente uma das $90$ bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de $5$ ou de $6$.

b) Retira-se aleatoriamente uma das $90$ bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de $6$.

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ITA IIIT 23/11/2021 17:49
$-$ Com o conhecimento de conjuntos, podemos escrever: \begin{matrix} \#(A \cup B) = \#(A) + \#(B) - \#(A \cap B) \end{matrix} $=> \ \ \ A:$ Conjunto dos números múltiplos de $5$ $=> \ \ \ B:$ Conjunto dos números múltiplos de $6$ $=> \ \ \ [ \ ] :$ Parte inteira de um número \begin{matrix} \#(A \cup B) = [\frac{90}{5}] + [\frac{90}{6}] -[\frac{90}{6.5}] = 30 \ números \\ \\ \#(A) = 18 \ números \ \ \ , \ \ \ \#(B) =15 \ números \end{matrix}$• \ \text{a)}$ \begin{matrix}P(A \cup B) = {\large{\frac{30}{90}}} = {\large{\frac{1}{3}}} \end{matrix}$• \ \text{b)}$ Vamos dividir em partes, comecemos quando a primeira bola é um múltiplo de $6$: $ \frac{15}{90}.\frac{75}{89}$ Note que, há $15$ números múltiplos de $6$, como retiramos a primeira bola sendo um deles, temos: $ \frac{15}{90}$ , já para segunda: $ \frac{75}{89}$ Agora, o caso em que comecemos quando a primeira bola não é um múltiplo de $6$: $ \frac{75}{90}.\frac{74}{89}$ Repare que, há $75$ números não múltiplos de $6$, como retiramos a primeira bola sendo um deles, temos: $ \frac{75}{90}$ , já para segunda: $ \frac{74}{89}$ Somando nossos resultados: \begin{matrix} {\large{ \frac{15}{90} \cdot \frac{75}{89}}} + {\large{\frac{75}{90} \cdot \frac{74}{89}}} = {\large{\frac{5}{6}}} \end{matrix}
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