Uma urna de sorteio contém bolas numeradas de a , sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais.
a) Retira-se aleatoriamente uma das bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de ou de .
b) Retira-se aleatoriamente uma das bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de .
Com o conhecimento de conjuntos, podemos escrever: \begin{matrix} \#(A \cup B) = \#(A) + \#(B) - \#(A \cap B)
\end{matrix}
$=> \ \ \ A:$ Conjunto dos números múltiplos de $5$
$=> \ \ \ B:$ Conjunto dos números múltiplos de $6$
$=> \ \ \ [ \ ] :$ Parte inteira de um número
\begin{matrix} \#(A \cup B) = \left[\dfrac{90}{5}\right] + \left[\dfrac{90}{6}\right] - \left[\dfrac{90}{6\cdot 5}\right ] = 30 \ números \\ \\ \#(A) = 18 \ números \ \ \ , \ \ \ \#(B) =15 \ números
\end{matrix}$• \ \text{a)}$ \begin{matrix}P(A \cup B) = {{\dfrac{30}{90}}} = {{\dfrac{1}{3}}}
\end{matrix}$• \ \text{b)}$
Vamos dividir em partes, comecemos quando a primeira bola é um múltiplo de $6$: $ \dfrac{15}{90}\cdot \dfrac{75}{89}$
Note que, há $15$ números múltiplos de $6$, como retiramos a primeira bola sendo um deles, temos: $ \dfrac{15}{90}$ , já para segunda: $ \dfrac{75}{89}$
Agora, o caso em que comecemos quando a primeira bola não é um múltiplo de $6$: $ \dfrac{75}{90}\cdot \dfrac{74}{89}$
Repare que, há $75$ números não múltiplos de $6$, como retiramos a primeira bola sendo um deles, temos: $ \dfrac{75}{90}$ , já para segunda: $ \dfrac{74}{89}$
Somando nossos resultados: \begin{matrix}
{{ \dfrac{15}{90} \cdot \dfrac{75}{89}}} + {{\dfrac{75}{90} \cdot \dfrac{74}{89}}} = {{\dfrac{5}{6}}}
\end{matrix}
