A priori, note que a diferença entre as razões das progressões se concentra na variação da potência de $r$. Nesse sentido, vamos começar verificando as razões, denotando, respectivamente, cada progressão pelos índices $\text{I}$ , $\text{II}$ e $\text{III}$:\begin{matrix} r_{\text{I}} &=& \dfrac{a_2}{a_1} &=& r \\ r_{\text{II}} &=& \dfrac{a_6}{a_1} &=& r^5 \\ r_{\text{III}} &=& \dfrac{a_{10}}{a_5} &=& r^{5} \end{matrix}Nesse sentido, a soma das progressões deve ficar:\begin{matrix} S_{\text{II}} = \dfrac{a_1}{1 - r^5} = 8 &,& S_{\text{III}} = \dfrac{a_5}{1 - r^5} = 2 \end{matrix}Não é difícil relacionar os dois resultados, tal que:\begin{matrix} \dfrac{a_1}{8} = \dfrac{a_5}{2} &\Rightarrow& r^4 = \dfrac{1}{4} &\therefore& r = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Lembre-se que $r <0$, ou seja, sua raiz positiva não satisfaz. Substituindo $r$ em $S_{\text{I}}$ encontramos $a_1$, veja:\begin{matrix} \dfrac{a_1}{1 - r^5} = 8 &\therefore& a_1 = 8 + \sqrt{2} \end{matrix}Portanto, a soma da progressão $\text{I}$ é:\begin{matrix} S_{\text{I}} = \dfrac{a_1}{1 - r} &\therefore& S_{\text{I}} = 14 - 6\sqrt{2} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}