A princípio, podemos começar com as progressões, a partir das somas, temos, respectivamente:\begin{matrix} \underset{k = 1}{\overset{4}{\sum}} x_k &=& \dfrac{x_1 (3^4 - 1)}{3 - 1} &=& 80 \\ \underset{k = 1}{\overset{4}{\sum}} y_k &=& \dfrac{y_1 (4^4 - 1)}{4 - 1} &=& 255 \end{matrix}Então,\begin{matrix} x_1 = 2 &,& y_1 = 3 \end{matrix}Com isso, já é possível tratar a matriz, assim como prosseguir com o problema. Primeiramente, vamos encontrar o determinante da matriz $A$, e consequentemente o de sua inversa, veja:\begin{matrix} \det{A} = \begin{vmatrix} 2 & 2\cdot 3 & 2\cdot 3^2 & 2\cdot 3^3 \\ 3 & 3\cdot 4 & 3 \cdot 4^2 & 3\cdot 4^3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 &0 & 0 \end{vmatrix} = (2\cdot 3) \begin{array}{|c : c c c|} 1 & 3 &3^2 & 3^3 \\ \hdashline 1 &4 & 4^2 &4^3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 &0 & 0 \end{array} \end{matrix}Aplicando Chió,\begin{matrix} \det{A} = (2\cdot 3) \begin{vmatrix} 1 & 7 &37 \\ 0 & 0 & 1 \\ -3& -3^2 &-3^3 \end{vmatrix}\end{matrix}A partir daqui, você pode resolver de diversas maneiras, até encontrar:\begin{matrix} \det{A} = -72\end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} \boxed{\det{A^{-1}} = - \dfrac{1}{72}} &\because& \det{A } \cdot \det{A^{-1}} = 1 \end{matrix}Agora, resta-nos encontrar o elemento da inversa, para isso, vamos utilizar da matriz adjunta:\begin{matrix} (A^{-1})_{2,3} = \dfrac{(C_{2,3})^T}{\det{A}} = \dfrac{C_{3,2}}{\det{A}} \end{matrix}Para o cofator $C_{3,2}$, têm-se:\begin{matrix} C_{3,2} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 2\cdot 3^2 & 2 \cdot 3^3 \\ 3& 3\cdot 4^2 & 3 \cdot 4^3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1) \cdot72 \cdot 12 \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \boxed{(A^{-1})_{2,3} = 12} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}