A princípio, precisamos descobrir a velocidade que o bloco atinge ao chegar no plano horizontal. Para isso, pode-se recorrer aos conceitos da Dinâmica, analisando as forças que atuam no bloco, constatamos:\begin{matrix} N_1 = P \cos{60º} &,& F_1 = P\sin{60º} - F_{at_1} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix}a_1 = g(\sin{60º} - \mu \cos{60º} ) &\therefore& a_1 =\dfrac{5}{2}(2\sqrt{3}-1) \ \pu{m/s^2} \end{matrix}Conforme teorema de Torricelli:\begin{matrix} (V_1)^2 = 0^2 + 2a_1 L \end{matrix}Observe que $L$ é o comprimento da rampa, logo:\begin{matrix} L = \dfrac{H}{\sin{60º}} &\Rightarrow& (V_1)^2 = 200(2\sqrt{3} - 1) \end{matrix}$\color{#3368b8}{\text{Nota:}}$ Creio que seria mais rápido encontrar o resultado acima pelos conceitos de trabalho e energia, o que convém você mesmo verificar. Agora, necessitamos encontrar a velocidade que o corpo atinge ao chegar no loop - basicamente, ao sair do plano com atrito. Novamente, analisando as forças que atuam no corpo, encontramos:\begin{matrix} N_2 = P &,& F_2 = - F_{at_2} \end{matrix}Então,\begin{matrix}a_2 = -\mu g &\therefore& a_2 = - 5 \ \pu{m/s^2} \end{matrix}Analogamente, aplicando Torricelli:\begin{matrix} (V_2)^2 = (V_1)^2 + 2a_2(20) &\therefore& (V_2)^2 =400(\sqrt{3} - 1) \end{matrix}Rumando o final da questão, ainda devemos encontrar as condições para que o loop possa ser feito. Nesse sentido, comecemos encontrando a velocidade que o bloco atinge ao chegar no ponto mais alto do loop - esse é o momento de maior estresse do corpo, pois se ele não é capaz de chegar lá, não é capaz de fazer o loop. Desse modo, realizando a conservação da energia mecânica:\begin{matrix} \dfrac{m(V_2)^2}{2} = \dfrac{m(V_3)^2}{2} + mg(2R) \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Estamos considerando o trecho horizontal como nível de referência.\begin{matrix} (V_3)^2 =400(\sqrt{3} - 1) + 40R \end{matrix}Por fim, devemos analisar a condição para que o loop seja realizado, isto é, avaliar as forças que atuam no bloco visando o ponto de maior estresse, e assim garantir que ele não perca o contato com a rampa. Como é um loop, certamente teremos uma resultante centrípeta, então:\begin{matrix} R_c = P + N &,& N \ge 0 \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Admitimos que quando $N=0$ o bloco está na iminência de perder o contato, ou seja, é o caso limite.\begin{matrix} \text{Caso limite:} & R_c = P \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \dfrac{m(V_3)^2}{R} = mg &\therefore& \boxed{R = 8(\sqrt{3} - 1) \ \pu{m}} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}

A energia mecânica $E_{m_{f}}$ do carrinho no ponto mais alto do loop circular pode ser dado por $E_{m_{f}} = E_{m_{i}} + \tau_{fat_{1}} + \tau_{fat_{2}}$ , onde $ E_{m_{i}}$ é a energia mecânica inicial do carrinho ,$\tau_{fat_{1}}$ é o trabalho realizado pela força de atrito da rampa e $\tau_{fat_{2}}$ é o trabalho realizado pela força de atrito do plano horizontal. $\therefore$ $E_{m_{f}} = E_{m_{i}} + \tau_{fat_{1}} + \tau_{fat_{2}}$ $= \dfrac{m(v_{f})^2}{2} +mg \cdot 2R = mgH - \mu m g \cos60° \cdot \dfrac{H}{\sin60°} - \mu mg \cdot 20 $ $\implies \dfrac{v_{f}^2}{2} + 2gR = gH - \mu g \cos60° \cdot \dfrac{H}{\sin60°} - \mu g \cdot 20$ $ = \dfrac{v_{f}^2}{2} + 2g R= 20g \sqrt{3} - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot 20$ $ = 20g \sqrt{3} - 20g=\dfrac{v_{f}^2}{2} + 2gR \implies 2gR = 20g(\sqrt{3} - 1) -\dfrac{v_{f}^2}{2} $ Note que $R$ é máximo quando $v_{f}$ é mínimo , o valor mínimo $v_{f}$ para ser possível o carrinho completar o loop é dado por $v_{f} = \sqrt{Rg}$ , portanto , o valor máximo desejado de $R$ é dado por $2gR = 20g(\sqrt{3} - 1) -\dfrac{(\sqrt{Rg})^2}{2} = 2gR = 20g(\sqrt{3} - 1) -\dfrac{Rg}{2}$ $\implies 5Rg = 40g(\sqrt{3} - 1) \implies \boxed{R = 8(\sqrt{3} - 1) \text{ m}}$ $\textbf{Resposta : Alternativa C}$