Como a equação admite raiz dupla, têm-se que $\Delta = 0$, logo:\begin{align*} (2b\cos{\alpha})^2 - 4(b^2 - a^2) = 0 \\ b^2(\cos^2{\alpha} - 1) + a^2 = 0 \end{align*}Conforme relação fundamental da trigonometria:\begin{matrix} \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \end{matrix}Ou seja,\begin{matrix} b^2(-\sin^2{\alpha}) + a^2 = 0 &\therefore& \sin{\alpha} = \dfrac{a}{b} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ A raiz negativa não satisfaz, pois significaria que o ângulo $\alpha \ge 180º$, o que é inviável para um triângulo. Observe que o resultado acima já é uma condição suficiente para dizermos que o triângulo é retângulo e $b$ a hipotenusa. (Tente esboçar a situação, para verificar.) Contudo, pensando na lei dos senos:\begin{matrix} \dfrac{a}{\sin{\alpha}} = \dfrac{b}{\sin{\beta}} &\Rightarrow& \sin{\beta} =1 &\therefore& \beta = 90º\end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}

Outra solução que me veio em mente: Veja que por soma e produto, temos $$S: 2c = 2b\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{c}{b}.$$ $$P: c^{2} = b^{2} - a^ {2} \Rightarrow a^{2} + c^{2} = b^{2}.$$ Como o teorema de Pitágoras é obedecido, então o triângulo é retângulo em $B$.