Com conhecimento das equações do MHS, além de perceber que o enunciado deixa claro o fato de ambas as partículas oscila de modo idêntico, podemos escrever: \begin{matrix} x_1 = a\cos{(wt + \varphi_1)} &,& x_2 = a\cos{(wt + \varphi_2)} \end{matrix}Como queremos que a partícula $P_2$ parta de um ponto máximo, temos: \begin{matrix} \varphi_2 = k\pi &,& k \in \mathbb{Z} \end{matrix}Visto que, o enunciado deixa claro o fato de $P_2$ estar atrasada em relação a $P_1$, isto é, equivale dizer que $P_1$ está adiantada em relação a $P_2$, pode-se escrever : \begin{matrix} \varphi_1 = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \end{matrix}Para facilitar as contas, façamos $k=0$ \begin{matrix} \varphi_2 = 0 &,& \varphi_1 = \dfrac{\pi}{12} \end{matrix}Sabido o período do MHS $(T)$, temos $w$ como: \begin{matrix} w = { \dfrac{2\pi}{T} } &\Rightarrow& \fbox{$w = { \dfrac{3\pi}{4}}$} \end{matrix}Agora, para $t = \dfrac{8}{9}$ \begin{matrix} x_1 = a\cos{\left(\dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{8}{9} + \dfrac{\pi}{12}\right)} &,& x_2 = a\cos{\left( \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{8}{9}\right)}\\ \\ x_1 = a\cos{\left( \dfrac{9\pi}{12}\right)} && x_2= a\cos{\left( \dfrac{2\pi}{3}\right)} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ \begin{matrix} \color{gray}{ \cos{\left( \dfrac{9\pi}{12}\right)} = \cos{\left( \pi - \dfrac{3\pi}{12}\right)} = - \cos{\left( \dfrac{\pi}{4}\right)} \ \ \ , \ \ \cos{\left( \dfrac{2\pi}{3}\right)} = \cos{\left( \pi - \dfrac{\pi}{3}\right)} = - \cos{\left( \dfrac{\pi}{3}\right)} } \end{matrix}\begin{matrix} \fbox{$x_1 = -a\dfrac{\sqrt{2}}{2}$} &&,&& \fbox{$x_2= -a \dfrac{1}{2} $} \end{matrix}Por fim, a distância que as separam: \begin{matrix} |x_2 - x_1| = \bigg|-a \dfrac{1}{2} + a\dfrac{\sqrt{2}}{2} \bigg| = \dfrac{a}{2}(\sqrt{2} - 1) \end{matrix} Sugestão: $\sqrt{2} < \dfrac{3}{2}$ \begin{matrix} |x_2 - x_1| < \dfrac{a}{2} \left (\dfrac{3}{2} - 1\right) &\therefore& |x_2 - x_1| < 0,25a \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}