Uma partícula $P_1$ de dimensões desprezíveis oscila em movimento harmônico simples ao longo de uma reta com período de $8/3\ s$ e amplitude $a$. Uma segunda partícula, $P_2$, semelhante a $P_1$, oscila de modo idêntico numa reta muito próxima e paralela à primeira, porém com atraso de $\pi/12\ rad$ em relação a $P_1$. Qual a distância que separa $P_1$ de $P_2$, $8/9\ s$ depois de $P_2$ passar por um ponto de máximo deslocamento?


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ITA IIIT 03/02/2022 14:09
$-$ Com conhecimento das equações do MHS, além de perceber que o enunciado deixa claro o fato de ambas as partículas oscilam de modo idêntico, podemos escrever: \begin{matrix} x_1 = a.\cos{(w.t + \varphi_1)} &,& x_2 = a.\cos{(w.t + \varphi_2)} \end{matrix} $-$ Como queremos que a partícula $P_2$ parta de um ponto máximo, temos: \begin{matrix} \varphi_2 = k.\pi &,& k \in \mathbb{Z} \end{matrix} Visto que, o enunciado deixa claro o fato de $P_2$ estar atrasada em relação a $P_1$, isto é, equivale dizer que $P_1$ está adiantada em relação a $P_2$, pode-se escrever : \begin{matrix} \varphi_1 = \frac{\pi}{12} + k.\pi \end{matrix} Para facilitar as contas, façamos $k=0$ \begin{matrix} \varphi_2 = 0 &,& \varphi_1 = \frac{\pi}{12} \end{matrix} $-$ Sabido o período do MHS $(T)$, temos $w$ como: \begin{matrix} w = \large{ \frac{2\pi}{T} } &\Rightarrow& \fbox{$w = \large{ \frac{3\pi}{4}}$} \end{matrix} $-$ Agora, para $t = \frac{8}{9}$ \begin{matrix} x_1 = a.\cos{(\frac{3\pi}{4} \ . \ \frac{8}{9} + \frac{\pi}{12})} &,& x_2 = a.\cos{( \frac{3\pi}{4} \ . \ \frac{8}{9})}\\ \\ x_1 = a.\cos{( \frac{9\pi}{12})} && x_2= a.\cos{( \frac{2\pi}{3})} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} \color{gray}{ \cos{( \frac{9\pi}{12})} = \cos{( \pi - \frac{3\pi}{12})} = - \cos{( \frac{\pi}{4})} \ \ \ , \ \ \cos{( \frac{2\pi}{3})} = \cos{( \pi - \frac{\pi}{3})} = - \cos{( \frac{\pi}{3})} } \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$x_1 = -a.\frac{\sqrt{2}}{2}$} &&,&& \fbox{$x_2= -a. \frac{1}{2} $} \end{matrix} $-$ Por fim, a distância que as separam: \begin{matrix} |x_2 - x_1| = |-a. \frac{1}{2} + a.\frac{\sqrt{2}}{2} | = \frac{a}{2}.(\sqrt{2} - 1) \end{matrix} Sugestão: $\sqrt{2} < \frac{3}{2}$ \begin{matrix} |x_2 - x_1| < \frac{a}{2}.(\frac{3}{2} - 1) &\Rightarrow& |x_2 - x_1| < 0,25a \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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