Indique a opção que explicita o representado pelo gráfico da figura:


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Diego Admin 17/03/2022 03:10
Nesta questão adivinhar quais harmônicas estão sendo somadas e com quais amplitudes é de dificuldade elevada, todavia podemos analisar caso a caso as opções, sendo a onda de frequência fundamental da forma $y = A\sin{\omega t}$ A chave para tal análise é comparar as raízes da onda resultante em um período com o gráfico $B)$: a opção representa $Y = A\sin{\omega t} + \frac{A}{5}\sin{2\omega t} + \frac{A}{10}\sin{3\omega t}$ que, pela trigonometria é igual a: $A(\sin{\omega t} + \frac{2}{5}\sin{\omega t}\cos{\omega t} + \frac{3}{10} \sin{\omega t} - \frac{4}{10} \sin^3{\omega t})$ que, com manipulação algébrica é igual a $$Y = \frac{A\sin{\omega t}(4\cos^2{\omega t} + 4\cos{\omega t} + 9)}{10}$$ as raízes são obtidas com $\sin{\omega t} = 0 \Rightarrow x = 0,\pi,2\pi$ e $4\cos^2{\omega t} + 4\cos{\omega t} + 9 = 0 \Rightarrow \ \emptyset$ como o gráfico possui $7$ raízes em um período, a opção $B$ está errada $C)$: Procedendo da mesma forma $Y = A\sin{\omega t} + A \sin{3\omega t}$ que, com um pouco de manipulação: $Y = 4A\sin{\omega t}(1-\sin^2{\omega t})$ as raízes no intervalo de zero a dois pi dessa equação são $0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi$ (verifique), logo a opção $C$ está errada. $D)$ $Y = A\sin{\omega t} + A/2 \sin{3\omega t} = \frac{A}{2}\sin{\omega t}(5-4\sin^2{\omega t})$ que fornece as raízes $0,\pi,2\pi$ em um período, logo a $D)$ também não pode ser. $E)$ $Y = A\sin{\omega t} + \frac{A}{2}\sin{2\omega t} = A\sin{\omega t} ( 1 + \cos{\omega t})$ que fornece as raízes $0,\pi,2\pi$, logo esta opção está errada. Assim, a opção correta é a letra $A)$ (se quiser, mostre que de fato existem $7$ raízes). Ademais, a cosseno considera que houve uso não convencional de comunicação nos termos de frequência fundamental e harmônica, o que tornou a questão mais difícil.
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Matheus Veiga
15:44 17/03/2022
Muito obrigado pela resolução, professor! Só estou com uma dúvida. O número de raízes em um período considera sempre o inicio e o fim (0 e 2π são contados)? É que para mim, teria apenas 6 raízes por período.
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