Observe que não existem opções cujas retas possuem o mesmo coeficiente angular. Portanto, é suficiente encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular. Podemos antes encontrar o coeficiente angular da reta tangente e depois usar a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares entre si. Para tal, podemos recorrer ao cálculo que, embora não seja o único caminho, nos dará rapidez. O coeficiente angular da reta tangente à curva $x^2-y^2=1$ no ponto $(2, \sqrt 3)$ nada mais é do que a derivada da curva no ponto em questão. Portanto, queremos $\dfrac{dy}{dx}$ em tal ponto. Podemos então derivar toda a expressão matemática da curva com relação a $x$: $$2x - 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$$ Para o ponto em questão: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{\sqrt 3}$. Ou seja, $$m_{tangente} = \dfrac{2}{\sqrt 3}$$. Pela relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares entre si, $$m_{tangente}\cdot m_{perpendicular} = -1 \Rightarrow m_{perpendicular} = \dfrac{-\sqrt 3}{2}$$ Obs: Caso o uso do cálculo não fosse permitido, poderíamos fazer utilizando apenas ferramentas de ensino médio. Para isso, novamente, calcularíamos primeiro o coeficiente angular da reta tangente. Primeiro, podemos usar o pertencimento do ponto dado à essa reta, para parametrizarmos o coeficiente linear em função do coeficiente angular. Depois, se fizermos um sistema para encontrar os pontos em comum da reta e da curva, tal sistema deve possuir solução única (tecnicamente, solução única nos arredores do ponto $(2, \sqrt 3)$) isso significa dizer, que o delta da raiz da equação quadrática que se tem quando resolvemos o sistema deve ser zero. Isso nos permite encontrar o coeficiente angular da reta tangente e, em seguida, da reta perpendicular.