Em um espaço amostral com uma probabilidade $P$ são dados os eventos $A, B$ e $C$ tais que: $P (A) = P (B) = 1/2$, com $A$ e $B$ independentes, $P (A \cap B \cap C) = 1/16$, e sabe-se que $P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) = 3/10$. Calcule as probabilidades condicionais $P (C|A \cap B)$ e $P(C|A \cap B^C)$.

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ITA IIIT 22/11/2021 22:40
$-$ Como $A$ e $B$ são independentes, segue:\begin{matrix} P(A \cap B) = P(A).P(B) = {\large{\frac{1}{4}}} \end{matrix}• Probabilidade condicional de $P(C| A \cap B)$\begin{matrix} P(C| A \cap B) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(A \cap B)} = {\Large{\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{4}}}} = {\large{\frac{1}{4}}} \end{matrix}• Probabilidade condicional de $P(C| A \cap B^c)$\begin{matrix} P[ (A \cap B) \cup (A \cap C)] = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) \\ \\ {\large{\frac{3}{10} }}= {\large{\frac{1}{4}}} + P(A \cap C) + {\large{\frac{1}{16}}} \\ \\ P(A \cap C) = {\large{\frac{9}{80}}} \\ \\ \\ P (A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) \\ \\ P (A \cap B^c) = {\large{\frac{1}{2}}} - {\large{\frac{1}{4}}} ={\large{\frac{1}{4}}} \\ \\ \\ P (C \cap A \cap B^c) = P(A \cap C) - P(C \cap A \cap B) \\ \\ P (C \cap A \cap B^c) = {\large{\frac{9}{80}}} - {\large{\frac{1}{16}}} = {\large{\frac{1}{20} }} \end{matrix}Portanto:\begin{matrix} P(C| A \cap B^c) &=& \Large{ \frac{P(C \cap A \cap B^c)}{P(A \cap B^c)} }& =& \Large{ \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{4}} } &= & {\large{ \frac{1}{5}}} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Recomendo que desenhe os $Diagramas \ de \ Venn$ caso sinta dificuldade em alguma preposição.
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