Considerando $r$ a razão da progressão aritmética, temos o sistema:$$\begin{cases}a+b+c = 3b\\4a+2b+c = 5\\a-b+c = 2\end{cases} \implies 2+2b = 3b \implies \color{red}{b = 2}$$Assim, forma-se um outro sistema:$$\begin{cases}a+c = 4\\4a+c = 1 \end{cases} \implies 3a = -3 \implies \color{red}{a=-1} \implies \color{red}{c=5}$$$$(a~,~b~,~c) ~=~(-1~,~2~,~5)\implies y~=~-x^2+2x+5~=~6-(x-1)^2$$Como $(x-1)^2 \geq 0$, então $\max(y)~=~6$, que ocorre na abcissa $x=1$. O vértice portanto da parábola é determinado pela coordenada $\color{red}{(1,6)}$. Conhecendo a equação da parábola, a derivemos para determinar o coeficiente angular da reta tangente $r$ :$$y'~=~-2x+2 \implies y'(2) = -2 \implies r:~y=-2x+c$$Na abcissa $x=2$, temos $5 = -4+c \implies c = 9$. Assim$$r:~2x+y-9=0$$A distância $d$ do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto $(2,5)$ é$$\boxed{d~=~\dfrac{|2\cdot 1 + 6-9|}{\sqrt{2^2+1^2~}}~=~\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$$