A princípio, veja que o enunciado solicita dois resultados: os valores de $k$ para um sistema impossível, e os valores para um sistema indeterminado. Nesse contexto, é quase que automático pensar nas regras de Cramer, e analisando a matriz $A$, nota-se que a maior potência de $k$ deve ser no máximo $2$, ou seja, é bem viável começar por Cramer:\begin{matrix}\det{(A)} &=& \begin{array}{|c:cc|} 1 & -2 & 3 \\ \hdashline 2 & k & 6 \\ -1& 3 & k-3 \end{array} &=& (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}k+4 & 0 \\ 1 & k \end{vmatrix} &=& k (k+4) \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Apenas aplicamos Chió no determinante. Segundos os conceitos das regras de Cramer, assim como visando manter a premissa do enunciado, têm-se:\begin{matrix}\det{(A)} = k (k+4) = 0 &\therefore& \boxed{k = 0} \ \ \wedge \ \ \boxed{k = -4} \end{matrix}Pondere que $k=0$ não nos interessa, já que não surte efeito para solução. Desse modo, precisamos saber se $k=-4$ determina um sistema impossível ou indeterminado, o que não é muito difícil, já que é possível simplesmente substituir o valor no sistema e analisar. Contudo, sejamos um pouco mais incisivos, vamos pensar em escalonamento:\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & k & 6 & 6 \\ -1 & 3 & k-3 & 0 \\ \end{bmatrix}Multiplicando a primeira linha por $2$, e logo em seguida subtraindo na segunda linha:\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & k+4 & 0 & 4 \\ -1 & 3 & k-3 & 0 \\ \end{bmatrix}Portanto, ao substituir $k=-4$, constata-se que o sistema é impossível, visto que teríamos algo como: $0=4$, o que é inviável.\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}