Existem vários modos de resolver este problema, vamos começar denotando $5^x=y$, logo:\begin{matrix} |y^3 - 5y^2 +4y | = |y - 1| \end{matrix} $• \ \text{Resolução I:}$ Trabalhando com o módulo desta igualdade, podemos escrever:\begin{matrix} (y^3 - 5y^2 +4y ) = \pm(y - 1) \end{matrix}Isto nos confere duas equações de terceiro grau:\begin{matrix} (1): & y^3 - 5y^2 + 3y + 1= 0 \\ (2): & y^3 - 5y^2 + 5y - 1= 0 \end{matrix}Por inspeção, nota-se uma raiz semelhante entre as equações, ela é $y=1$. Com isso, aplicando Briot-Ruffini:\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -5 & 3 & 1 \\ \hline & 1 &-4 & -1 & 0 \\ \\ 1 & 1 & -5 & 5 & -1 \\ \hline & 1 &-4 & 1 & 0 \end{array}Desse modo, \begin{matrix} (1): & (y-1)(y^2 - 4y - 1)= 0 \\ (2): &(y-1)(y^2 - 4y + 1)= 0 \end{matrix}Resolvendo as duas equações de segundo grau:\begin{matrix} (1): & y = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} &,& (2): & y = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \end{matrix}Pondere que a raiz negativa de $(1)$ é inviável, pois $ 5^x > 0$. Nesse sentido, constatamos alguns resultados, são eles:\begin{matrix} y = 1 &,& y = 2 + \sqrt{5} &,& y = 2 + \sqrt{3} &,& y = 2 - \sqrt{3} \end{matrix}Por fim, não é difícil substituir $y$ por $5^x$ e verificar os resultados como:\begin{matrix} \boxed{x = \{ 0 \ , \log_5{(2 + \sqrt{5} )} \ , \log_5{(2 + \sqrt{3} )} \ , \log_5{(2 - \sqrt{3} )} \}} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ É possível tentar fatorar o termo $y^3 - 5y^2 +4y $, vejamos suas raízes:\begin{matrix} y(y^2 - 5y + 4) = 0 \end{matrix}Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos:\begin{matrix} y = 4 &,& y =1 \end{matrix}Então, podemos fatorar a nossa expressão como:\begin{matrix}y^3 - 5y^2 +4y = y(y-1)(y-4) \end{matrix}Agora, voltemos a analisar a equação do enunciado:\begin{matrix} |y(y-1)(y-4)| = |y-1| \end{matrix}Novamente, verificamos $y=1$ como raiz, assim, trabalhando o módulo, têm-se duas equações:\begin{matrix} (1): & y(y-4) &=& 1 \\ (2): & y(y-4) &=& -1 \end{matrix}Adiante, o raciocínio segue o mesmo da resolução anterior.\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}