Vamos começar encontrando a reta que passa por $A$ e $B$, para isso, vejamos o coeficiente angular $m$ desta reta:\begin{matrix} m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\Rightarrow&m= \dfrac{a-0}{0-a} = \dfrac{y-0}{x-a} &\therefore&y+x-a = 0 \end{matrix}Com conhecimento da reta, a distância $d$ entre o ponto $P$ e esta reta é:\begin{matrix} d = \dfrac{|x+y-a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{|x+y-a|}{\sqrt{2}} \end{matrix}Analogamente, como a distância entre $P$ e $C$ também é $d$, têm-se a partir da distância Euclidiana:\begin{matrix} d = \sqrt{(x-a)^2 +(y-a)^2} \end{matrix}Igualando nossos resultados:\begin{matrix} \dfrac{|x+y-a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{(x-a)^2 +(y-a)^2} \end{matrix}Elevando a igualdade ao quadrado,\begin{matrix} (x+y-a)^2 = 2[(x-a)^2 +(y-a)^2] \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \boxed{x^2 + y^2 -2xy - 2ax - 2ay + 3a^2 = 0} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}