Para determinar os elementos da diagonal da matriz $C=A+B$, basta fazer:$$\begin{align}c_{kk}&=a_{kk}+b_{kk}\\ c_{kk}&=\binom{k}{k}+\sum^{k^2}_{p=0}(-2)^p\binom{k^2}{a}\\ c_{kk}&=1+\left[(-2)^0\binom{k^2}{0}+(-2)^1\binom{k^2}{1}+\dots+(-2)^{k^2}\binom{k^2}{k^2}\right]\end{align}$$ Lembrando do binômio de Newton:$$(a+b)^n = \sum^{n}_{k=0} a^{k}\cdot b^{n-k}\cdot \binom{n}{k}$$ Podemos identificar que termo geral de $c_{kk}$ contém a expressão $(1 + (-2))^{k^2}$ que é o mesmo que $(-1)^{k^2}$. Enfim, como $(-1)^{k^2}=(-1)^{k}$, a expressão geral para os termos da diagonal de $C$ fica assim:$$c_{kk}=1+(-1)^k$$ Agora, resta determinar o traço de $C$ (soma dos elementos da diagonal) para uma dada ordem $n$ ímpar:$$\begin{align}\sum^{n}_{k=1}c_{kk}&=\left(1+(-1)^1\right)+\left(1+(-1)^2\right)+\dots+\left(1+(-1)^n\right)\\ \sum^{n}_{k=1}c_{kk}&=\underbrace{1+1+\dots+1}_{n\text{ vezes}}+\underbrace{(-1)^1+(-1)^2+\dots+(-1)^n}_{n\text{ vezes (ímpar)}}\\ \sum^{n}_{k=1}c_{kk}&=n + (-1)=\boxed{n-1}\end{align}$$ Parece que não encontramos nenhuma das alternativas, mas se simplificarmos a $\text{(C)}$ nós chegamos lá:$$\dfrac{n^2-3n+2}{n-2}=\dfrac{(n-1)\cdot (n-2)}{n-2}=\boxed{n-1}$$Portanto, $\boxed{\text{Gab. C)}}$