Seja um polinômio com coeficientes reais, de grau , que admite como raiz de multiplicidade . Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de são, respectivamente, e . Sendo afirmado que três raízes de são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são
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A princípio, como a raiz complexa apresenta multiplicidade dois, podemos inferir que seu conjugado também apresenta a mesma multiplicidade. Nesse sentido, as outras três raízes restantes são reais, distintas e em progressão aritmética, vejamos a soma delas:\begin{matrix}
2(1+i) + 2(1-i) + x_1 + x_2 + x_3 = 10 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\
(x_1 - r)+ x_2 +(x_2 + r) = 6 \\
\boxed{x_2 = 2}
\end{matrix}Agora, pensando no produto:\begin{matrix}
(1+i)^2(1-i)^2 x_1 x_2 x_3 &=& - 40 \\
x_1 x_2 x_3 &=& - 10 \\
x_1 x_3 &=& -5 \\
(2-r)(2+ r) &=&-5 \\
r^2 &=& 9 \\
r &=& \pm 3
\end{matrix}Com isso, sabemos que a progressão é na forma:\begin{matrix}
x_2 -r &,& x_2 &,& x_2 + r
\end{matrix}Então, tais raízes são: $
\boxed{-1 \ , \ 2 \ , \ 5}$\begin{matrix}Letra \ (E)
\end{matrix}
