a) Em hipótese, se $\alpha$ é raíz da equação $x^{3}+3x-4=0$, então: $\alpha^{3}=4-3\cdot \alpha$ E isso é fácil mostrar: $\alpha^{3}=(\sqrt[3]{2+\sqrt {5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt {5}})^{3}$ $=$ $=$ $2+\sqrt {5}+2-\sqrt {5}+3\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt {5}}\cdot \sqrt[3]{2-\sqrt {5}})\cdot \alpha$ que, desenvolvendo, determina-se como queríamos mostrar: $\alpha^{3}=4+3\cdot (\sqrt[3]{4-5})\cdot \alpha$ $\implies$ $\alpha^{3}=4-3\cdot \alpha$ $\implies$ $\alpha^{3} + 3\alpha -4=0$ b) Inspecionando a equação $x^{3}+3x-4=0$, obtemos $x=1$ como uma das soluções. Logo: $x^{3}+3x-4=(x-1)\cdot (ax^{2}+bx+c)=0$ $ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c$ $=$ $x^{3}+3x-4$ $a=1$; $(b-a)=0$, logo $b=1$; $(c-b)=3$, logo $c=4$. $(x-1)\cdot (x^{2}+x+4)=0$, para $x^{2}+x+4=0$, completemos o quadrado: $x^{2}+x+4=0$ $\implies$ $x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-15}{4}=(x+\frac{1}{2})^{2}$ Esta equação resulta em apenas raízes complexas: $(x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{-15}{4} \implies |x+\frac{1}{2}|=\sqrt{\frac{15}{4}}$ $i$ $\implies$ $x=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{15}{4}}$ $i$ Já que é sabido que $\alpha$ é raíz da equação e $\alpha \in \mathbb{R}$, e das 3 soluções da equação, uma é real ($x=1$) e as outras duas são complexas não-reais ($x=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{15}{4}}$ $i$), então conclui-se que $\alpha = 1\in \mathbb{Q}$ $\implies$ $\alpha \in \mathbb{Q}$. $\mathbb{C} .\mathbb{Q}.\mathbb{D} .$