Durante a apresentação do projeto de um sistema acústico, um jovem aluno do ITA esqueceu-se da expressão da intensidade de uma onda sonora. Porém, usando da intuição, concluiu ele que a intensidade média $(I)$ é uma função da amplitude do movimento do ar $(A)$, da freqüência $(f)$, da densidade do ar $(\rho)$ e da velocidade do som $(c)$, chegando à expressão $I = A^x f ^y ρ^z c$. Considerando as grandezas fundamentais: massa, comprimento e tempo, assinale a opção correta que representa os respectivos valores dos expoentes $x$, $y$ e $z$.


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Diego Admin 06/05/2022 12:03
Esta questão é uma aplicação direta da análise dimensional: para que uma dada equação física seja verdadeira, é necessário sempre que a dimensão física do lado esquerdo da igualdade seja a mesma que a do lado direito. Em geral, para fazer tal análise deixamos a dimensão apenas em função de grandezas físicas "irredutíveis", ou seja, que não podem ser escritas em função de outras grandezas. No problema, temos no lado esquerdo intensidade ($I$) cuja dimensão é potência/área, ou seja: no SI $\frac{watt}{m^2}$, mas Watt não é uma grandeza irredutível, potência é energia/tempo e energia é força x distância e força é aceleração x massa e aceleração é espaço dividido pelo quadrado do tempo. Portanto, no final, a dimensão de intensidade escrita no SI é $$\frac{potência}{área} = \frac{energia}{tempo \cdot área} = \frac{força \cdot distância}{tempo \cdot área} = \frac{massa \cdot aceleração \cdot distância}{tempo \cdot área} = kg \cdot \frac{m}{s^2} \cdot m \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{m^2} = \frac{kg}{s^3}$$por outro lado, no lado direito temos Amplitude (distância), frequência (1/tempo), densidade (massa/volume), e velocidade (distância/tempo). Assim: o lado direito fica $$m^x \cdot \left(\frac{1}{s}\right)^y \cdot \left( \frac{kg}{m^3} \right)^z \cdot \frac{m}{s} = m^{x-3z+1} \cdot kg^z \cdot s^{-y-1}$$ precisamos ter então $$\frac{kg}{s^3} = m^{x-3z+1} \cdot kg^z \cdot s^{-y-1}$$ e para que isso ocorra, os expoentes devem ser respectivamente iguais: $$\begin{cases} x-3z+1 = 0 \\ z = 1 \\ -y-1 = -3 \end{cases}$$Resolvendo o sistema, obtemos $$x = 2, y = 2, z = 1 \Rightarrow Letra \ D$$
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