Um elétron é acelerado a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial , adquirindo uma quantidade de movimento . Sabe-se que, quando o elétron está em movimento, sua energia relativística é dada por , em que é a massa de repouso do elétron e a velocidade da luz no vácuo. Obtenha o comprimento de onda de De Broglie do elétron em função de e das constantes fundamentais pertinentes.
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Sabe-se que a energia do elétron é na forma $E = E_c + E_0$, assim, a partir do teorema do trabalho total, têm-se: \begin{matrix} W_T = \Delta E_c &\Rightarrow& e U = E_c - 0 &\therefore& E = eU + m_0 c^2 &,& E_0 = m_0c^2
\end{matrix}Desse modo, a partir da equação do enunciado, têm-se: \begin{matrix}
(eU + m_0 c^2)^2 = (m_0c^2)^2 + (p \cdot c)^2 \\ \\ (eU)^2 + 2(eU)(m_0c^2) + (m_0c^2)^2 = (m_0c^2)^2 + (p \cdot c)^2 \\ \\ p^2 = {{\dfrac{ (eU)^2 + 2(eU)(m_0c^2) }{c^2}}}
\end{matrix}Pela equação de De Broglie, constata-se: \begin{matrix} p = {{\dfrac{h}{\lambda}}} &\Rightarrow& \left({\dfrac{h}{\lambda}} \right)^2 = {{\dfrac{ (eU)^2 + 2(eU)(m_0c^2) }{c^2}}} &\therefore& \lambda = {{\dfrac{hc}{\sqrt{e^2U^2 + 2eUm_0c^2}}}} & \tiny{\blacksquare}
\end{matrix}
