Prove que, se os ângulos internos e de um triângulo satisfazem a equação então, pelo menos, um dos três ângulos ou é igual a .
CossenoGPT
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Como os ângulos são internos a um triângulo, têm-se:\begin{matrix}
\alpha + \beta + \gamma = 180º
\end{matrix}Assim, pode-se escrever:\begin{matrix}
\sin{(3\alpha)} + \sin{(3\beta)} +\sin{3[180º - (\alpha + \beta)]} = 0
\end{matrix}Então,\begin{matrix}
\sin{(3\alpha)} + \sin{(3\beta)} + \sin{3(\alpha + \beta)} = 0
\end{matrix}$$\fbox{Fórmulas de Werner: \ \ $\begin{matrix}
{\sin{p} + \sin{q} = 2 \sin{\left(\dfrac{p+q}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}}
\end{matrix}$}$$Segue,\begin{matrix}
2 \sin{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{3\alpha-3\beta}{2}\right)} + \sin{3(\alpha + \beta)} = 0
\end{matrix}$$\fbox{Arco-metade: \ \ $\begin{matrix}
\sin{2q} =2\sin{q}\cos{q}
\end{matrix}$}$$Continuando,\begin{matrix}
2 \sin{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{3\alpha-3\beta}{2}\right)} + 2 \sin{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)} = 0
\end{matrix}Ou seja,\begin{matrix}
2 \sin{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)} \left[ \cos{\left(\dfrac{3\alpha-3\beta}{2}\right)} + \cos{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)}\right] = 0
\end{matrix}$$\fbox{Fórmulas de Werner: \ \ $\begin{matrix}
{\cos{p} + \cos{q} = 2 \cos{\left(\dfrac{p+q}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}}
\end{matrix}$}$$Consequentemente, \begin{matrix}
2 \sin{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)} \cos{\left(\dfrac{3\alpha}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{3\beta}{2}\right)} = 0
\end{matrix}Agora, existem três situações,\begin{matrix}
\text{(1)}: & \sin{\left(\dfrac{3\alpha+3\beta}{2}\right)} =0 \\ \\ \text{(2)}: & \cos{\left(\dfrac{3\alpha}{2}\right)} = 0 \\ \\ \text{(3)}: & \cos{\left(\dfrac{3\beta}{2}\right)} = 0
\end{matrix}Observe que os resultados de $\text(2)$ e $\text{(3)}$ são análogos por generalidade, e deles, têm-se:\begin{matrix}\dfrac{3(\beta,\alpha)}{2} =90º &\therefore& (\beta,\alpha) = 60º &|& (\beta, \alpha) : = \beta \vee \alpha
\end{matrix}Por outro lado, caso $\text{(1)}$:\begin{matrix}
\dfrac{3\alpha+3\beta}{2} = 180º &\Rightarrow& \alpha + \beta = 120º &\therefore& \gamma = 60º
\end{matrix}Portanto, dada a equação, segue que pelo menos um dos ângulos deve ser $60º$.
