A princípio, podemos partir de $(f\circ g)(x)$, em que:\begin{matrix} (f\circ g)(x) &=& [-(x^2 + \beta x)]^2 + \alpha [-(x^2 + \beta x)] \\ (f\circ g)(x) &=& (x^2 + \beta x)^2 - \alpha (x^2 + \beta x) \\ (f\circ g)(x) &=& x^2(x + \beta )^2 - \alpha x (x + \beta ) \\ (f\circ g)(x) &=& x(x + \beta )[ x(x + \beta ) - \alpha ] \\ (f\circ g)(x) &=& x(x + \beta )( x^2 + x\beta - \alpha ) \end{matrix}Nesse contexto, precisamos encontrar $\beta$ e $\alpha$, o que é possível a partir do conhecimento do $x$ e $y$ do vértice, respectivamente, ponto mínimo e valor mínimo da função. Desse modo, vamos escrever:\begin{matrix}\text{Ponto de Mínimo:}&\begin{cases} f(x): & -\dfrac{\alpha}{2\cdot 1} < 0 &\Rightarrow&\alpha > 0 \\ \\ g(x): & -\dfrac{(-\beta)}{2\cdot (-1)} > 0 &\Rightarrow&\beta < 0 \end{cases} \\ \\ \text{Valor Mínimo:}&\begin{cases} f(x): & -\dfrac{\alpha^2}{4\cdot 1} = -1 &\Rightarrow&\alpha^2 = 4 \\ \\ g(x): & -\dfrac{(-\beta)^2}{4\cdot (-1)}= \dfrac{9}{4} &\Rightarrow&\beta^2 = 9 \end{cases} \end{matrix}Com isso, constatamos:\begin{matrix}\alpha = 2 &,& \beta = -3 \end{matrix}Substituindo em $(f\circ g)(x)$:\begin{matrix}(f\circ g)(x) &=& x(x -3 )( x^2 - 3x - 2 ) \end{matrix}Já para $(f\circ g)(x) = 0$, temos:\begin{matrix}x= 0 &,& x = 3 &,& x = \dfrac{3+ \sqrt{17}}{2} &,& x = \dfrac{3- \sqrt{17}}{2} \end{matrix}Em que a soma de todos os valores é:\begin{matrix} 0 +3 + \dfrac{3+ \sqrt{17}}{2} + \dfrac{3- \sqrt{17}}{2} = 6 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}