Se é uma matriz real, considere as definições:
I. Uma matriz quadrada é ortogonal se e só se for inversível e .
II. Uma matriz quadrada é diagonal se e só se , para todo , com .
Determine as matrizes quadradas de ordem que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais.
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Dado que $A$ é uma matriz diagonal, deve-se ter algo como:\begin{matrix}
A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c
\end{bmatrix} &\Leftrightarrow&A^T = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c
\end{bmatrix}\end{matrix}Analogamente, por $A$ ser ortogonal:\begin{matrix}
A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c
\end{bmatrix}\end{matrix}Com conhecimento do conceito de matriz identidade, segue:\begin{matrix}A \cdot A^{-1} = I_3
\end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix}\begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{matrix}Então,\begin{matrix}\begin{bmatrix}
a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\end{matrix}Portanto, \begin{matrix}
(a,b,c)=(±1,±1,±1) & \tiny{\blacksquare}
\end{matrix}
