Uma caixa branca contém $5$ bolas verdes e $3$ azuis, e uma caixa preta contém $3$ bolas verdes e $2$ azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, $2$ dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que $4$, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde?

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ITA IIIT 21/11/2021 01:06
$-$ Comecemos pelos dados, cada dado possui $6$ possíveis números, como são dois dados, pelo princípio fundamental da contagem:\begin{matrix} 6.6 = 36 & \text{resultados possíveis} \end{matrix}Se a soma resultante for menor que $4$, temos apenas três possibilidades: \begin{matrix} (1,1) \ - \ (2,1) \ - \ (1,2) \end{matrix}Veja que, há $ \frac{3}{36}= \frac{1}{12}$ chances do número ser menos que $4$, então há $\frac{11}{12}$ chances do número ser igual ou maior que $4$. Isso pode ser provado por:\begin{matrix} P(A)^c = 1 - P(A)\end{matrix}Analisemos as caixas, a chance de termos uma bola verde na caixa branca é:\begin{matrix} {\large{\frac{5}{5+3}}} = {\large{\frac{5}{8}}}\end{matrix}Já na caixa preta:\begin{matrix} {\large{\frac{3}{3+2}}} = {\large{\frac{3}{5}}}\end{matrix}Agora, por fim, ao jogarmos os dados, as chances de tirarmos uma bola verde é:\begin{matrix} {\large{\frac{1}{12} \cdot \frac{5}{8}}} &+& \large{ \frac{11}{12}\cdot \frac{3}{4} } &=& \large{\frac{289}{480}} \end{matrix}
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