A priori, denotemos:\begin{matrix} \alpha = \arctan{\left( \sqrt{2} - 1 + \dfrac{e^x}{2}\right)} &,& \beta= \arctan{\left( \sqrt{2} - 1 - \dfrac{e^x}{2}\right)} \end{matrix}Nesse sentido, têm-se:\begin{matrix} \alpha + \beta = a &\Rightarrow& \tan{(\alpha + \beta)} = \tan{(a)} = \dfrac{ \tan{(\alpha)} + \tan{(\beta)}}{1 - \tan{(\alpha)} \tan{(\beta)}} \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} \tan{(a)} = \dfrac{2(\sqrt{2} - 1)}{1 - \left[ (\sqrt{2} - 1)^2 - \dfrac{e^{2x}}{4} \right]} = \dfrac{2(\sqrt{2} - 1)}{ 2(\sqrt{2} - 1)+ \dfrac{e^{2x}}{4} } \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} \dfrac{e^{2x}}{4} = \dfrac{2(\sqrt{2} - 1)[1 - \tan{(a)}]}{\tan{(a)}} > 0 \end{matrix}Segundo o intervalo fornecido no enunciado, sabemos que $\tan{(a)} \ne 0$, assim, existem duas opções:\begin{matrix} (1):& 1 - \tan{(a)} < 0 &\wedge& \tan{(a)} < 0 \\ (2):& 1 - \tan{(a)} > 0 &\wedge& \tan{(a)} > 0 \end{matrix}Observe que a opção $(1)$ é inviável, assim, tem-se apenas a $(2)$, ou seja:\begin{matrix} 0< \tan{(a)} < 1 &\therefore& 0< a< \dfrac{\pi}{4}&\tiny{\blacksquare} \end{matrix}