A princípio, vamos pensar na situação inicial, isto é, os deslocamentos após um tempo $t_1$. Nesse sentido, sabemos que no intervalo de tempo $t_1$ Aquiles percorre $d_1$, por outro lado, neste mesmo intervalo de tempo, a tartaruga deve percorrer uma distância $d_2$ - distância subsequente que Aquiles deve percorrer. Desse modo, não é difícil perceber uma recorrência, esta que nos permite inferir:\begin{matrix} d_k = v_A \cdot t_k &,& d_k = v_T \cdot t_{k-1} \end{matrix}Nesse contexto,\begin{matrix} v_A \cdot t_k = v_T \cdot t_{k-1} &\therefore& t_k = t_{k-1} \cdot \dfrac{v_T}{v_A} \end{matrix}Com o resultado acima descobrimos que os termos $t_k$ formam uma progressão geométrica, esta que possui razão $v_T/v_A$, em que $0<v_T/v_A< 1$. Além disso, podemos dizer que esta progressão é infinita, pois, para cada deslocamento de Aquiles existe um deslocamento da tartaruga, ou seja, para todo $d_k$ existe um $d_{k+1}$. Por conseguinte, vamos determinar a soma desta progressão, esta que é simplesmente a soma de uma progressão infinita:\begin{equation} \overset{\infty}{\underset{k=1}{\sum}} t_k = \dfrac{t_1}{1 - v_T/v_A } = \dfrac{v_A \cdot t_1}{v_A - v_T} = \dfrac{d_1}{v_A - v_T} \end{equation}Por fim, identificamos que soma em questão representa o tempo necessário para que Aquiles alcance a tartaruga.