Dividindo-se o polinômio $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^2 + cx + 1$ por $(x – 1)$, obtém-se resto igual a $2$. Dividindo-se $P(x)$ por $(x + 1)$, obtém-se resto igual a $3$. Sabendo que $P(x)$ é divisível por $(x – 2)$, tem-se que o valor $\frac{ab} {c}$ é igual a:
$-$ Segundo enunciado, podemos escrever:
\begin{matrix} (1): &&& P(x) &=& (x-1)&.& q(x) &+& 2 \\ \\
(2): &&& P(x) &=& (x+1)&.& q_1(x) &+& 3 \\ \\
(3 ): &&& P(x) &=& (x-2)&.& q_2(x) &+& 0
\end{matrix}
$-$ Começando por analisar as informações acima, veja que temos três resultados diretos, o primeiro é fazendo $x=1$ em $(1)$, o segundo é substituindo $x=-1$ em $(2)$, já o terceiro, e último, vem do fato de $2$ ser raiz, vide $(3)$. Com isso, temos:
\begin{matrix} P(1) = 2 &&,&& P(-1) = 3 &&,&& P(2) = 0 \\ \\ \Downarrow &&&& \Downarrow &&&& \Downarrow \\ \\ a+b+c = 0
&&&& a+b -c = 3 &&&& 16a + 4b +2c= - 33
\end{matrix}
Não é difícil resolver o sistema acima e encontrar,
\begin{matrix} a = -3 &,& b = 9/3 &,& c = -3/2
\end{matrix} Portanto,
\begin{matrix} \frac{ab}{c} = 9 \\ \\ Letra \ (E)
\end{matrix}
