$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$\begin{matrix} f\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}\right) = \left[f\left(\dfrac{x}{2} \right) \right]^2 > 0 &\therefore& f(x) > 0 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$ Podemos partir do mais simples, veja:\begin{matrix} f(2x) = f[(x)]^2 \end{matrix}E para o $f(3x)$?\begin{matrix}f(3x) = f(x) f(2x) &\Rightarrow& f(3x) = [f(x)]^3 \end{matrix}Creio que já se evocou uma suposta recorrência, certo? Caso contrário, tente atestar para $f(4x)$ utilizando o mesmo raciocínio de $f(3x +x)$. Nesse contexto, nossa hipótese é que: $f(kx) = [f(x)]^k$, então provemos para $k+1$:\begin{matrix}f[(k+1)x] = f(kx) f(x) &\therefore&f[(k+1)x] = [f(x)]^{k+1} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Vamos supor a veracidade da afirmativa, assim, podemos escrever:\begin{matrix}\begin{cases}f(0) = f(0)f(0) \\ f(0) =f(x)f(-x) \end{cases}& ,& \underbrace{f(x)=f(-x)}_{\text{função par}} &\Rightarrow&f(x)^2 = f(0) = 1 &\overset{f(x)>0}{\Rightarrow}& f(x) = 1 \end{matrix}Observe que $f(0) \ne 0$, do contrário, teríamos uma função constante. Nesse sentido, também podemos dizer que o resultado que encontramos é inadmissível, visto que ele imputa $f(x)$ como constante - o enunciado diz que $f$ é não-constante. Portanto, $f$ não pode ser uma função par.\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}