$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$ Para sabermos de a matriz $B^T$ é inversível, podemos averiguar seu determinante, isto é, se ele for diferente de zero, temos que $B^T$ é inversível. Nesse contexto, é necessário lembrar das propriedades da matriz transposta, ou seja, recordar que o determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. Com isso, como as matrizes $A$ e $P$ são inversíveis, certamente temos que $B^T$ é inversível. Além disso, podemos verificar pelo $\text{Teorema de Binet}$, em que:\begin{matrix}\det{(B)}= \det{(P^{-1})} \cdot \det{(A)} \cdot \det{(P)} &,& \det{(P)} = \dfrac{1}{\det{(P^{-1})}} \end{matrix}Então,\begin{matrix}\det{(B)} = \det{(A)} > 0 &|& \det{(B)} = \det{(B^T)} &\therefore& \det(B^T)> 0 \end{matrix} Já sobre $\ce{(B^T)^{-1} = (B^{-1})^T}$, esta é uma propriedade notável das matrizes inversíveis. Contudo, pode-se partir do conhecimento que para uma matriz quadrada $\ce{X}$ inversível, é válido: $\ce{XX^{-1} = X^{-1}X = I}$, tal que:\begin{matrix} \ce{(B^{T})^{-1} &=& (B^{T})^{-1} \underbrace{(B^{-1}B)^T}_{\ce{I}} &=& \underbrace{(B^{T})^{-1} B^T}_{\ce{I}} (B^{-1})^T &=& (B^{-1})^T } \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ $\ce{A}$ ser simétrica implica que $\ce{A = A^T}$, assim, para $\ce{B}$:\begin{matrix} \ce{B^T = [(P^{-1})(AP)]^T = (AP)^T(P^{-1})^T = P^T A^T(P^{-1})^T} \end{matrix} No caso, independente de $\ce{A}$ ser simétrica, constata-se que $\ce{B \ne B^T}$. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix}\ce{B - \lambda I &=& P^{-1}AP - \lambda \underbrace{P^{-1}P}_{\ce{I}} &=& P^{-1}(A - \lambda I)P} \end{matrix} Utilizando novamente o $\text{Teorema de Binet}$, podemos atestar:\begin{matrix} \det{(B - \lambda I )} = \det{(P^{-1} )} \cdot \det{(A - \lambda I )} \cdot \det{(P)}\\ \\\det{(B - \lambda I )} = \det{(A - \lambda I )} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}