Com conhecimento de progressões geométricas, não é difícil reescrever a equação como: \begin{matrix} z^4 + z^3 +z^2 + z + 1 &=& \dfrac{1 \cdot (z^5 -1)}{(z-1)} &=& 0 \end{matrix}Atente que, $z=1$ não é uma raiz, assim, sem perda de generalidade, têm-se: \begin{matrix} z^5 -1 = 0 &\Rightarrow& z^5 = 1 \end{matrix}Conhecida a $\text{Segunda Lei de Moivre}$, têm-se: \begin{matrix} z^5 = 1 \cdot (\cos{0} + i\sin{0}) &\Rightarrow& z_k = \sqrt[5]{1} \cdot [\cos{(\frac{2k\pi}{5})} + i\sin{(\frac{2k\pi}{5})}] &,& k = 1,2, ...,5 \end{matrix}Com isso, não é difícil perceber que: \begin{matrix} |z_k| = \sqrt[5]{1} &,& z_k = \cos{(\frac{2k\pi}{5})} + i\sin{(\frac{2k\pi}{5})} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Substituindo $k$ por seus respectivos valores, pode-se ver que em nenhum deles o termo $i\sin{(\frac{2k\pi}{5})}$ se anula - condição necessária para raiz real. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ O módulo de todas as raízes é unitário, como mostrado anteriormente. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ O mais simples é pensar numa progressão geométrica de infinitos termos, pois todo elemento somado é positivo, consequentemente, quanto mais termos, maior o resultado. Nesse viés, $r$ é o nosso $z_k$, enquanto a razão da progressão é $\dfrac{z_k}{3}$, então, a soma de infinitos termos seria: \begin{matrix} \underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}} |\dfrac{z_k}{3}|^i &=& \frac{\dfrac{|z_k|}{3}}{{\Large{1}} - \dfrac{|z_k|}{3} } &=& \dfrac{|z_k|}{3 - |z_k|} &=& \dfrac{1}{2} &\because& |z_k | = 1 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}