Denotemos a matriz de $A$, assim, caso multipliquemos a primeira linha de seu determinante por $a$, a segunda por $b$, a terceira por $c$ e a quarta por $d$, constatamos:\begin{matrix}\det{(A)} = \dfrac{1}{abcd} \cdot \begin{vmatrix} abcd & a & a^2 & a^3 \\ abcd & b & b^2 & b^3 \\ abcd & c & c^2 & c^3 \\ abcd & d & d^2 & d^3 \\ \end{vmatrix} = \dfrac{abcd}{abcd} \cdot \begin{vmatrix} 1& a & a^2 & a^3 \\ 1& b & b^2 & b^3 \\ 1& c & c^2 & c^3 \\ 1& d & d^2 & d^3 \\ \end{vmatrix} \end{matrix}Nesse contexto, nota-se uma $\text{Matriz de Vandermonde}$, esta que possui um determinante notável, então:\begin{matrix} \det{(A)} = (b-a)(c-b)(c-a)(d-c)(d-b)(d-a) &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Como $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais não-nulos, o resultado acima já está num produto de número reais.