Considere o polinômio $P(x) = 2x +a_2{x}^2 + … + a_n x^n$ , cujos coeficientes $2, a_2, … , a_n$ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão $q \gt 0$. Sabendo que $-\frac{1} {2}$ é uma raiz de $P$ e que $P(2) = 5 460$, tem-se que o valor de $\frac{n^2-q^3}{q^4}$ é igual a:


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ITA IIIT 15/03/2022 21:11
$-$ Do polinômio em questão, podemos reescrevê-lo como: \begin{matrix} P(x) &=& 2x &+& 2qx^2 &+& ...&+& 2q^{n-1}.x^n \end{matrix} $-$ Repare que, temos uma outra $PG$, esta que possui: \begin{matrix} \text{Primeiro termo} \ =2x &&,&& \text{Razão:} \ = qx \end{matrix} $-$ Dessa forma, com conhecimento da $\text{soma de uma PG}$, temos: \begin{matrix} P(x) &=& \Large{ \frac{(2x) \ . \ [1 - (qx)^n]}{1 - qx}} \end{matrix} $-$ Segundo enunciado, $P(-1/2) = 0$, então: \begin{matrix} P(-1/2) &=& \Large{ \frac{(-1) \ . \ [1 - (-q/2)^n]}{1 + q/2}} &\Rightarrow& \large{(-\frac{q}{2})^n} &=& 1 \end{matrix} $-$ Atente que $q>0$, logo, para igualdade ser válida, $\color{royalblue}{q=2}$ e $\color{royalblue}{n}$ é par. Dessa forma, novamente, segundo enunciado, sabemos que $P(2)=5460$, assim: \begin{matrix} P(2) &=& \Large{ \frac{(4) \ . \ [1 - (2q)^n]}{1 -2q}} &=& \Large{ \frac{(4) \ . \ [1 - (4)^n]}{-3}} &\Rightarrow& 4^n &=& 4^6 \end{matrix} Portanto, \begin{matrix} \color{royalblue}{n = 6} \end{matrix} $-$ Por fim, o valor requerido: \begin{matrix} \large{ \frac{n^2 - q^3}{q^4} = \frac{7}{4} } \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
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