Considere o polinômio $P(x) = 2x +a_2{x}^2 + … + a_n x^n$ , cujos coeficientes $2, a_2, … , a_n$ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão $q \gt 0$. Sabendo que $-\frac{1} {2}$ é uma raiz de $P$ e que $P(2) = 5 460$, tem-se que o valor de $\frac{n^2-q^3}{q^4}$ é igual a:
Do polinômio em questão, podemos reescrevê-lo como: \begin{matrix} P(x) &=& 2x &+& 2qx^2 &+& ...&+& 2q^{n-1}.x^n
\end{matrix}Repare que, temos uma outra $PG$, esta que possui:
\begin{matrix} \text{Primeiro termo} \ =2x &&,&& \text{Razão:} \ = qx
\end{matrix}Dessa forma, com conhecimento da $\text{soma de uma PG}$, temos:
\begin{matrix} P(x) &=& { \dfrac{(2x) \cdot [1 - (qx)^n]}{1 - qx}}
\end{matrix}Segundo enunciado, $P(-1/2) = 0$, então:
\begin{matrix} P(-1/2) &=& { \dfrac{(-1) \cdot [1 - (-q/2)^n]}{1 + q/2}} &\Rightarrow& {(-\dfrac{q}{2})^n} &=& 1
\end{matrix}
Atente que $q>0$, logo, para igualdade ser válida, $\color{royalblue}{q=2}$ e $\color{royalblue}{n}$ é par. Dessa forma, novamente, segundo enunciado, sabemos que $P(2)=5460$, assim: \begin{matrix} P(2) &=& { \dfrac{(4) \cdot [1 - (2q)^n]}{1 -2q}} &=& { \dfrac{(4) \cdot [1 - (4)^n]}{-3}} &\Rightarrow& 4^n &=& 4^6
\end{matrix} Portanto, \begin{matrix} \color{royalblue}{n = 6}
\end{matrix}Por fim, o valor requerido:
\begin{matrix} { \dfrac{n^2 - q^3}{q^4} = \dfrac{7}{4} } \\ \\ Letra \ (C)
\end{matrix}
