$• \ \text{Resolução I:}$ Vamos admitir que a progressão seja como $(a-r, \ a, \ a+r)$, em que $r$ obviamente é a razão. Nesse sentido, segundo o enunciado, podemos escrever:\begin{matrix} (a-r-2) \cdot 180^{\circ} + (a-2) \cdot 180^{\circ} + (a+r -2) \cdot 180^{\circ}= 3780^{\circ} \end{matrix}Lembre-se que a soma dos ângulos internos de um polígono fechado é $(n-2)180^{\circ}$, em que $n$ é o número de lados. Com isso,\begin{matrix}(3a -6) \cdot 18^{\circ} = 378^{\circ} &\Rightarrow& a -2 = 7 &\therefore& a = 9 \end{matrix}Novamente, pelo enunciado, pode-se escrever:\begin{matrix} (a-r) \cdot a\cdot (a+r) = 585 &\Rightarrow& (9^2-r^2)= \dfrac{585}{9}&\therefore& r = \pm 4 \end{matrix}Nesse viés, já sabemos que os lados dos polígonos são na forma $(5,9,13)$, assim, a soma $(S)$ do número de diagonais desses três polígonos é:\begin{matrix}S= \dfrac{(5-3)5}{2} + \dfrac{(9-3)9}{2} + \dfrac{(13-3)13}{2} = 97 &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Não esqueça que o número de diagonais num polígono é: $\dfrac{(n-3)n}{2}$, em que $n$ é o número de lados. $• \ \text{Resolução II:}$ Com conhecimento do teorema fundamental da aritmética, sabe-se que qualquer inteiro maior que $1$ pode ser decomposto em fatores primos. Além disso, também sabemos que o número de lados de um polígono é um número natural. Desse modo, pelo produto dos três lados, têm-se:\begin{matrix}(a-r) \cdot a\cdot (a+r) = 13 \cdot 5 \cdot 3^2 &,& 13 \cdot 5 \cdot 3^2 = 585 \end{matrix}Ora, mas os três lados formam uma progressão aritmética, então, há apenas uma opção, esta que é $(5,9,13)$. Analogamente, o raciocínio segue igual ao da resolução anterior. \begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}