Considere n pontos distintos sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos formam uma progressão geométrica de termo inicial e razão . Para que valores de teremos o comprimento do arco menor que do comprimento da circunferência?
Para todo arco $\overset{\Large \frown}{A_k A_l},$ o comprimento considerado é o do arco que une o ponto $A_k$ ao ponto $A_l$ no sentido anti-horário.
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mesmo! 
A princípio, deve-se notar que os comprimentos dos raios em progressão não compreendem toda a circunferência, para isso, seria preciso incluir o fator $ \overparen{A_nA_1}$. Nesse contexto, como o raio da circunferência é unitário, podemos escrever:\begin{equation}\overparen{A_nA_1} = 2\pi - \overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}} \overparen{A_iA_{i+1}} < \dfrac{2\pi}{512} \end{equation}Agora, basta analisar a soma da progressão geométrica, esta que é: \begin{equation}
\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}} \overparen{A_iA_{i+1}} = \dfrac{\overparen{A_1A_{2}} \cdot (1 - q^{n-1})}{1-q} =2\pi \left(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}\right)
\end{equation}Substituindo nosso resultado acima na nossa primeira expressão:\begin{matrix}
2\pi - 2\pi \left(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}\right) <\dfrac{2\pi}{512} &\Rightarrow& \dfrac{1}{2^{n-1}} < \dfrac{1}{512} &\Rightarrow& n-1> 9 &\therefore& n >10 & \tiny{\blacksquare}
\end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $2^9 = 512$
