Observe que $A_n$ representa a soma de $n$ termos de uma progressão aritmética, vamos assumir que a razão seja $r$, então:\begin{matrix} A_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2} = \dfrac{[2a_n - (n-1)r]n}{2} &\Rightarrow& \dfrac{A_n}{n} = a_n - \dfrac{(n-1)r}{2} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $a_1 = a_n - (n-1)r$ Nesse contexto, vamos analisar qual expressão resulta num maior número:\begin{matrix} \left( \dfrac{A_n}{n} -a_n \right)^2 = \left[-\dfrac{(n-1)r}{2} \right]^2 = \dfrac{(n-1)^2r^2}{4} & (1) \end{matrix}Por outro lado,\begin{matrix} \left( \dfrac{A_n}{n} \right)^2 - a^2_n = \left[a_n - \dfrac{(n-1)r}{2} \right]^2 - a^2_n = \dfrac{(n-1)^2r^2}{4} -a_n(n-1)r & (2) \end{matrix}Com isso, repare que o termo $-a_n(n-1)r$ é negativo, pois $r>0$, assim como $a_n >0$ e $(n-1) >0$. Desse modo, comparando $(1)$ e $(2)$, podemos concluir que:\begin{matrix}\left( \dfrac{A_n}{n} -a_n \right)^2 > \left( \dfrac{A_n}{n} \right)^2 - a^2_n &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}