Mostre que $${\left(\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}\right)}^4 \gt C_{8,4}$$ para quaisquer $x$ e $y$ reais positivos.

Obs.: $C_{n,p}$ denota a combinação de $n$ elementos tomados $p$ a $p$.

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ITA IIIT 20/11/2021 21:26
Com o conhecimento das Desigualdades das Médias: \begin{matrix} Média \ Aritmética \ge Média \ Geométrica \\ \\ {{\dfrac{x_1 + x_2 +...+ x_n}{n}}} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} \end{matrix}• Aplicando em $\dfrac{x}{y} \ e \ \dfrac{y}{x} $ \begin{matrix} {{\dfrac{\frac{x}{y} + \dfrac{y}{x}}{2}}} \ge \sqrt[2]{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x} } \\ \\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2 \\ \\ \left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 2\right)^4 \ge (2+2)^4 \\ \\ (2+2)^4 = 256 \end{matrix}• $C_{8}^{4}$ \begin{matrix} C_{8}^{4} = \dfrac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = 70 \end{matrix}Portanto:\begin{matrix} \left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 2\right)^4 \ge 256 > 70 \\ \\ \left(\dfrac{x}{y} + 2 + \dfrac{y}{x} \right)^4 > C_{8}^{4} \end{matrix}
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