Sejam $A$ e $B$ matrizes quadradas de ordem $n$ tais que $AB = A$ e $BA = B$ . Então, $[(A+B)^t]^2$ é igual a


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Augusto Massayoshi 01/04/2022 01:18
$$ E = [(A+B)^t]^2 $$ — Multiplique $B$ por $A$: $$ \underbrace{B A}_{B}B = B A $$ $$ B^2 = B A \tag{1} $$ Multiplique $A$ por $B$: $$ \underbrace{AB}_{A} A = AB $$ $$ A^2 = A B \tag{2} $$ \begin{align*} E & = [A^t + B^t]^2 \\ & = [ A^t ]^2 + [ B^t ]^2 + A^t B^t + B^t A^t \tag{3} \end{align*} $$ A^t = B^t A^t \tag{4} $$ $$ B^t = A^t B^t \tag{5} $$ $(4)$ e $(5)$ em $(3)$: $$ E = [A^t]^2 + [B^t]^2 + B^t + A^t \tag{6} $$ De $(1)$: $$ [B^t]^2 = A^t B^t = B^t $$ De $(2)$: $$ [A^t]^2 = B^t A^t = A^t $$ $$ E = A^t + B^t + B^t + A^t = 2 (A^t + B^t) $$ Alternativa correta: $ \boxed{\mathrm{C}}$ $$ \boxed{E = 2 (A^t + B^t)} $$
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