$$ E = [(A+B)^t]^2 $$ — Multiplique $B$ por $A$: $$ \underbrace{B A}_{B}B = B A $$ $$ B^2 = B A \tag{1} $$ Multiplique $A$ por $B$: $$ \underbrace{AB}_{A} A = AB $$ $$ A^2 = A B \tag{2} $$ \begin{align*} E & = [A^t + B^t]^2 \\ & = [ A^t ]^2 + [ B^t ]^2 + A^t B^t + B^t A^t \tag{3} \end{align*} $$ A^t = B^t A^t \tag{4} $$ $$ B^t = A^t B^t \tag{5} $$ $(4)$ e $(5)$ em $(3)$: $$ E = [A^t]^2 + [B^t]^2 + B^t + A^t \tag{6} $$ De $(1)$: $$ [B^t]^2 = A^t B^t = B^t $$ De $(2)$: $$ [A^t]^2 = B^t A^t = A^t $$ $$ E = A^t + B^t + B^t + A^t = 2 (A^t + B^t) $$ Alternativa correta: $ \boxed{\mathrm{C}}$ $$ \boxed{E = 2 (A^t + B^t)} $$

$AB = A$ , multiplicando por $A^{-1}$ na equação, temos:$$\underbrace{(A^{-1} \cdot A)}_{I_n} \cdot B = \underbrace{A^{-1} \cdot A}_{I_n} \implies \color{red}{B = I_n}$$Analogamente:$$\underbrace{(B^{-1} \cdot B)}_{I_n} \cdot A = \underbrace{B^{-1} \cdot B}_{I_n} \implies \color{red}{A = I_n}$$Portanto, expressão do enunciado é assim desenvolvida:$$[(A+B)^t]^2 = [A^t + B^t]^2 = [I_n + I_n]^2 = 2I_n \cdot 2I_n = 2\cdot 2 I^2_n$$ Como $I^2_n = I_n$ , então $2I^2_n = 2I_n = A^t + B^t$, assim, o valor da expressão enunciada é:$$[(A+B)^t]^2 = 2(A^t + B^t)$$$$\text{Alternativa } \mathbb{(C)}$$