Denotemos a reta de $R: y =-r$, assim, segundo enunciado, temos a relação: \begin{matrix} (\overline{PA})^2 -2(\overline{PR})^2 = 3r^2 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} (\overline{PA})^2 = (x-r)^2 + (y-0)^2 &,& \overline{PR} = {\dfrac{|0\cdot x + 1\cdot y + r|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} } \end{matrix} Substituindo os resultados acima, \begin{matrix} (x-r)^2 + (y-0)^2 -2(y+r)^2 = 3r^2 \\ \\ \fbox{${{ \dfrac{(x-r)^2}{r^2} - \dfrac{(y+2r)^2}{r^2}}} = 1$} \end{matrix} Portanto, constatamos uma hipérbole de abertura leste-oeste, centrada em $(r,-2r)$, com semi-eixos iguais a $r$. \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}