Seja o ponto $A = (r , 0)$ , $r \gt 0$. O lugar geométrico dos pontos $P = (x ,y)$ tais que é de $3r^2$ a diferença entre o quadrado da distância de $P$ e $A$ e o dobro do quadrado da distância de $P$ à reta $y = – r$ é:
$-$ Denotemos a reta de $R: y =-r$, assim, segundo enunciado, temos a relação:
\begin{matrix} (\overline{PA})^2 -2(\overline{PR})^2 = 3r^2
\end{matrix} Continuando, \begin{matrix} (\overline{PA})^2 = (x-r)^2 + (y-0)^2
&,& \overline{PR} = \Large{\frac{|0.x + 1.y + r|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} } \end{matrix} Substituindo os resultados acima, \begin{matrix} (x-r)^2 + (y-0)^2 -2(y+r)^2 = 3r^2 \\ \\ \fbox{${\large{ \frac{(x-r)^2}{r^2} - \frac{(y+2r)^2}{r^2}}} = 1$}
\end{matrix}
Portanto, constatamos uma hipérbole de abertura leste-oeste, centrada em $(r,-2r)$, com semi-eixos iguais a $r$.
\begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}
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