Repare que temos um sistema homogêneo, isto é, ele admite solução trivial $(0,0,0)$, porém, a questão solicita as que não sejam triviais. No caso, conhecida a $\text{Regra de Cramer}$, pode-se escrever o sistema na forma matricial $AX = B$, em que queremos $det(A) =0$:\begin{matrix} \log_{2}{m} = a &,& det(A) = \begin{vmatrix} 2 & - {{\dfrac{a}{2}}} & 5 \\ a & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2a \end{vmatrix} \overset{\text{cf. Chió}}{\equiv} \begin{vmatrix} \left(- {{\dfrac{a}{2}}} - 2\right) &(5 + 4a) \\ (1-a) & (2a^2 -2) \end{vmatrix} = 0 \end{matrix}Com isso, têm-se:\begin{matrix} det(A) = a^3 - 2a +1 = 0 &|& a =1 &\Rightarrow& det(A) = 0 \end{matrix}Reduzindo o grau deste polinômio por $\text{Briot-Ruffini}$, têm-se: \begin{matrix} a^2 + a -1 = 0 &\therefore& a = {{\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}} \end{matrix}Desse modo, já encontramos as três raízes da equação em $a$, estas que nos irão informar os valores de $m$, veja: \begin{matrix} \log_{2}{m_1} = 1 &,& \log_{2}{m_2} = {{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}} &,&\log_{2}{m_3} = {{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}}} \\ \Downarrow && \Downarrow && \Downarrow \\ m_1 = 2 &&m_2 = 2^{{{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}} && m_3 = 2^{{{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}}} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix}m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 1 &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Por $Cramer$, sabe-se que $A = 0$ implica em um sistema $SPI$ ou $SI$. Atente que, um sistema homogêneo jamais é $SI$, pois possui solução trivial, logo, todas as soluções que encontramos definem um sistema indeterminado com inúmeras soluções, ou seja, soluções não triviais. $• \ \text{Resolução Alternativa:}$ $\color{royalblue}{\text{Escalonamento}}$ Vamos reescrever o sistema, após isso, subtrair a terceira linha na segunda:\begin{matrix} \begin{cases}2x - {{\dfrac{a}{2}}}y + 5z &=& 0 \\ ax + y - 2z &=& 0 \\ x + y -2az &=& 0 \end{cases} &\overset{(2) -(3)}{\Rightarrow}&x(a-1) + 2z(a-1) = 0 \end{matrix}Observe que, ou $(a-1=0)$, ou $(2z =-x)$, no primeiro caso, já temos uma solução, $a =1$. Contudo, analisando o segundo resultado, ao substituir no sistema acima:\begin{matrix} \begin{cases} \ \ \ \ \ x + ay &=& 0 \\ x(a+1) + y &=& 0 \\ x(a+1) + y&=& 0 \end{cases} &\overset{}{\Rightarrow}& y(a^2+ a -1) = 0 &\therefore& a^2+ a -1 = 0 \end{matrix}E assim, segue o resultado anterior.