Analisando $M - \lambda I$, têm-se:\begin{matrix} M - \lambda I &=& \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0&0&c \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0&0& \lambda \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & b- \lambda & 1 \\ 0&0&c- \lambda \end{bmatrix} \end{matrix}Com conhecimento que a matriz em questão, assim como a matriz $M$, são triangulares superiores, têm-se o derminante como:\begin{matrix} det(M - \lambda I) = (a-\lambda) (b-\lambda) (c-\lambda) = 0 &\therefore&a = \lambda &\vee& b= \lambda &\vee& c= \lambda \end{matrix} Nesse viés, das relações fornecidas pelo enunciado, pode-se escrever: \begin{matrix} \begin{cases}(a)(aq)(aq^2) &=& a \\ a + aq + aq^2 &=&7a \end{cases} &,& a \ne 0 &\Rightarrow&\begin{cases} \ \ \ \ \ \ a^2q^3 &=& 1 & \color{royalblue}{(1)} \\ q^2 +q -6 &=&0 & \color{royalblue}{(2)} \end{cases} \end{matrix}Veja que, não é difícil resolver o sistema acima, pela segunda linha, resolvendo a equação de segundo grau, têm-se: \begin{matrix} q =2 &\overset{(1)}{\Rightarrow}& a = {\Large{\frac{1}{2\sqrt{2}}}} &\therefore& b = {\Large{\frac{1}{\sqrt{2}}}} &\wedge& c = {\Large{\frac{2}{\sqrt{2}}}} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} a^2 + b^2 + c^2 = {\Large{\frac{21}{9}}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}