Num triângulo acutângulo , o lado oposto ao ângulo mede . Sabendo: então a área do triângulo é igual a:
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Denotemos o lado oposto ao ângulo $\hat{B}$ de $b$, o lado oposto ao ângulo $\hat{C}$ de $c$, e lado oposto ao ângulo $\hat{A}$ de $a$. Assim, segundo enunciado podemos escrever: \begin{matrix} \cos{\hat{A}} = \dfrac{3}{5} &,& \sin{\hat{C}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} &,& a = 5 \ \pu{cm}
\end{matrix}Pelo $\text{Teorema Fundamental da Trigonometria}$ podemos encontrar o $\sin{\hat{A}}$ e $ \cos{\hat{C}}$: $$\begin{cases} \sin^2{\hat{A}} + \cos^2{\hat{A}} = 1 \\ \sin^2{\hat{C}} + \cos^2{\hat{C}} = 1\end{cases}$$ $$\begin{cases}\sin{\hat{A}} = \dfrac{4}{5} \\ \cos{\hat{C}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{cases}$$
Sabido que, $\sin{\hat{B}} = \sin{(\hat{A} +\hat{C})}$, temos: $$\sin{\hat{B}}= \sin{\hat{A}}\cdot \cos{\hat{C}} + \sin{\hat{C}}\cdot \cos{\hat{A}}$$ $$\sin{\hat{B}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$$ $$\color{#3368b8}{\text{O triângulo é isósceles }}$$
Pela $\text{Lei dos senos}$: $$\dfrac{a}{\sin{\hat{A}}} = \dfrac{c}{\sin{\hat{C}}}\ \Rightarrow\ c= \dfrac{5\sqrt{5}}{2} \ \pu{cm}$$
A área do triângulo: $$A = \dfrac{a\cdot c\cdot \sin{\hat{B}}}{2}\ \Rightarrow\ \fbox A = \dfrac{25}{2} \ \pu{cm^2}$$
$$\boxed{\text{Letra (E)}}$$

11:19 24/04/2024
Eu fiz buscando o valor do lado b usando a lei dos cossenos, porém, ao tirar a raiz dos possíveis valores de b, eu encontrei dois valores, um que era o correto, dizendo que o lado b = c, ou seja, um triângulo isósceles, e outro com um valor totalmente diferente menor do que o lado c. Como poderia saber quais dos dois lados usar?

21:20 07/01/2024
o seno de  n deveria ser 4/5? e por que obrigatoriamente seno B =seno( Â+C )?