Num triângulo acutângulo $ABC$, o lado oposto ao ângulo $\hat{A}$ mede $5\ cm$. Sabendo: $$\hat{A} = \arccos{\frac{3}{5}}$$$$\hat{C} = \arcsin{\frac{2}{\sqrt5}}$$então a área do triângulo $ABC$ é igual a:



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ITA IIIT 29/01/2022 03:00
Denotemos o lado oposto ao ângulo $\hat{B}$ de $b$, o lado oposto ao ângulo $\hat{C}$ de $c$, e lado oposto ao ângulo $\hat{A}$ de $a$. Assim, segundo enunciado podemos escrever: \begin{matrix} \cos{\hat{A}} = \dfrac{3}{5} &,& \sin{\hat{C}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} &,& a = 5 \ \pu{cm} \end{matrix}Pelo $\text{Teorema Fundamental da Trigonometria}$ podemos encontrar o $\sin{\hat{A}}$ e $ \cos{\hat{C}}$: \begin{matrix} \sin^2{\hat{A}} + \cos^2{\hat{A}} = 1 &,& \sin^2{\hat{C}} + \cos^2{\hat{C}} = 1 \\ \\ \sin{\hat{A}} = \dfrac{2}{5} && \cos{\hat{C}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{matrix}Sabido que, $\sin{\hat{B}} = \sin{(\hat{A} +\hat{C} )} $, temos: \begin{matrix} \sin{\hat{B}}= \sin{\hat{A}}\cdot \cos{\hat{C}} + \sin{\hat{C}}\cdot \cos{\hat{A}} \\ \\ \sin{\hat{B}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \\ \color{}{\text{O triângulo é isósceles }} \end{matrix}Pela $\text{Lei dos senos}$: \begin{matrix} { \dfrac{a}{\sin{\hat{A}}} = \dfrac{c}{\sin{\hat{C}}} } &\Rightarrow & c= \dfrac{5\sqrt{5}}{2} \ \pu{cm} \end{matrix}A área do triângulo: \begin{matrix}A = {\dfrac{a\cdot c\cdot \sin{\hat{B}}}{2}} &\Rightarrow & \fbox{$A = \dfrac{25}{2} \ \pu{cm^2} $} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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