Seja $\displaystyle{\sum^{20}_{n=0}} \frac{20!}{n!(20-n)!}x^n$ uma função real em que $n!$ indica o fatorial de $n$. Considere as afirmações:
(I) $f(1) = 2$
(II) $f(-1) = 0$
(III) $f(-2) = 1$
Podemos concluir que:
$-$ Se você conhece a fórmula do Binômio de Newton, provável que a solução já lhe salte aos olhos, veja:
\begin{matrix} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} . a^{n-k}.b^k
\end{matrix}
Analisando a função do enunciado:
\begin{matrix} f(x) = \sum_{n=0}^{20} \frac{20!}{n!.(20-n)!}. x^n = \sum_{n=0}^{20} {20 \choose n} . 1^{20-n}.x^n = (1 + x)^{20} \\ \\ f(x) = (1 + x)^{20}
\end{matrix}Agora ficou fácil, né? Vejamos:
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
\begin{matrix} f(1) = (1 + 1)^{20} = 2^{20} \ne 2
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
\begin{matrix} f(-1) = (1 - 1)^{20} = 0^{20} = 0
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
\begin{matrix} f(-2) = (1 - 2)^{20} = (-1)^{20} = 1
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (B)
\end{matrix}
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