Seja $\displaystyle{\sum^{20}_{n=0}} \frac{20!}{n!(20-n)!}x^n$ uma função real em que $n!$ indica o fatorial de $n$. Considere as afirmações:

  • (I) $f(1) = 2$

  • (II) $f(-1) = 0$

  • (III) $f(-2) = 1$

Podemos concluir que:


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ITA IIIT 19/11/2021 20:05
Se você conhece a fórmula do Binômio de Newton, provável que a solução já lhe salte aos olhos, veja: \begin{matrix} (a+b)^n = \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} {n \choose k} \cdot a^{n-k}\cdot b^k \end{matrix}Analisando a função do enunciado: \begin{matrix} f(x) = \underset{n=0}{\overset{20}{\sum}} \ \dfrac{20!}{n! \cdot (20-n)!}\cdot x^n = \underset{n=0}{\overset{20}{\sum}} {20 \choose n} \cdot 1^{20-n}\cdot x^n = (1 + x)^{20} \\ \\ f(x) = (1 + x)^{20} \end{matrix}Agora ficou fácil, né? Vejamos: $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} f(1) = (1 + 1)^{20} = 2^{20} \ne 2 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} f(-1) = (1 - 1)^{20} = 0^{20} = 0 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} f(-2) = (1 - 2)^{20} = (-1)^{20} = 1 \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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