Se você conhece a fórmula do Binômio de Newton, provável que a solução já lhe salte aos olhos, veja: \begin{matrix} (a+b)^n = \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} {n \choose k} \cdot a^{n-k}\cdot b^k \end{matrix}Analisando a função do enunciado: \begin{matrix} f(x) = \underset{n=0}{\overset{20}{\sum}} \ \dfrac{20!}{n! \cdot (20-n)!}\cdot x^n = \underset{n=0}{\overset{20}{\sum}} {20 \choose n} \cdot 1^{20-n}\cdot x^n = (1 + x)^{20} \\ \\ f(x) = (1 + x)^{20} \end{matrix}Agora ficou fácil, né? Vejamos: $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} f(1) = (1 + 1)^{20} = 2^{20} \ne 2 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} f(-1) = (1 - 1)^{20} = 0^{20} = 0 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} f(-2) = (1 - 2)^{20} = (-1)^{20} = 1 \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}

Note que $(1 + x)^{20} = \binom{n}{0} x^0 + \binom{n}{1} x^1 + \binom{n}{2} x^2 + \dots + \binom{n}{20}x^{20} = \sum_{n=0}^{20} \binom{20}{n}x^n = \sum_{n=0}^{20} \dfrac{20!}{n!(20 - n)!} x^n = f(x)$ $\therefore f(x) =(1 + x)^{20} $ $\therefore \boxed{f(1) = 2^{20}} ; \boxed{f(-1) = 0} ; \boxed{f(-2) = 1}$ $\textbf{Gab : B}$