Um relógio de pêndulo, construído de um material de coeficiente de dilatação linear $\alpha$, foi calibrado a uma temperatura de $0\ ^{\circ}C$ para marcar um segundo exato ao pé de uma torre de altura $h$. Elevando-se o relógio até o alto da torre observa-se um certo atraso, mesmo mantendo-se a temperatura constante. Considerando $R$ o raio da Terra, $L$ o comprimento do pêndulo a $0\ ^{\circ}C$ e que o relógio permaneça ao pé da torre, então a temperatura para a qual obtém-se o mesmo atraso é dada pela relação:


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ITA IIIT 06/01/2022 17:49
Período do pêndulo simples:\begin{matrix} T = 2\pi \ \sqrt{\dfrac{L}{g}} \end{matrix}Segundo o enunciado, pode-se dizer que no primeiro experimento ocorre o atraso devido a variação da aceleração da gravidade, assim, podemos escrever: \begin{matrix} F_r = F_g &\Rightarrow& mg_0 = {{\dfrac{G.M.m}{R^2}}} &\therefore&\fbox{$g_0 = {{\dfrac{G\cdot M}{R^2}}}$} \end{matrix}Analogamente, \begin{matrix} \fbox{$g_1 = {{\dfrac{G\cdot M}{(R+h)^2}}}$} \end{matrix}Assim, \begin{matrix} T_1 = 2\pi \ \sqrt{\dfrac{L}{g_1}} \end{matrix}Note que, $T_1$ é o período do pêndulo no alto da torre. Dessa forma, agora queremos o mesmo período, porém, com o pêndulo no pé da torre, isso ocorrerá pela dilatação do fio, assim: \begin{matrix} T_2 = 2\pi \ \sqrt{{{\dfrac{L\cdot (1+ \alpha\cdot \theta)}{g_0}}}} \end{matrix}Visto que: $T_1 = T_2$\begin{matrix} 2\pi \ \sqrt{{{\dfrac{L}{g_1}}}} = 2\pi \ \sqrt{{{\dfrac{L\cdot (1+ \alpha\cdot \theta)}{g_0}}}} &\Rightarrow& {{ \dfrac{g_0}{g_1}}} = 1+ \alpha\cdot \theta &\Rightarrow& {{\dfrac{ \dfrac{G\cdot M}{R^2} }{ \dfrac{G.M}{(R+h)^2} }}} = 1+ \alpha \cdot \theta &\Rightarrow& 1+ \alpha \cdot \theta = {{\dfrac{R^2 + 2Rh +h^2}{R^2}}} &\therefore& \fbox{$\theta = {{\dfrac{h(2R+h)}{R\cdot \alpha}}}$} \end{matrix} \begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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